int_(-1)^1 (xsqrt(1+x^2) + sqrt(1-x^2)) , dx
$\int_{-1}^{1} (x\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2}) \, dx$
题目解答
答案
将积分拆分为两部分：
$\int_{-1}^{1} (x\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2}) \, dx = \int_{-1}^{1} x\sqrt{1+x^2} \, dx + \int_{-1}^{1} \sqrt{1-x^2} \, dx$
第一部分：
函数 $f(x) = x\sqrt{1+x^2}$ 是奇函数（因为 $f(-x) = -f(x)$），且积分区间关于原点对称。根据奇函数在对称区间上的积分性质，有：
$\int_{-1}^{1} x\sqrt{1+x^2} \, dx = 0$
第二部分：
函数 $g(x) = \sqrt{1-x^2}$ 是偶函数（因为 $g(-x) = g(x)$），且积分区间关于原点对称。根据偶函数在对称区间上的积分性质，有：
$\int_{-1}^{1} \sqrt{1-x^2} \, dx = 2 \int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2} \, dx$
积分 $\int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2} \, dx$ 表示单位圆的四分之一面积，其值为 $\frac{\pi}{4}$。因此：
$\int_{-1}^{1} \sqrt{1-x^2} \, dx = 2 \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$
综上：
$\int_{-1}^{1} (x\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2}) \, dx = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$
答案：$\boxed{\frac{\pi}{2}}$
解析
本题主要考查定积分的计算，解题思路是利用定积分的性质将被积函数拆分为两部分，再根据奇函数和偶函数在对称区间上的积分性质分别计算这两部分的积分。
- 拆分积分：
根据定积分的可加性，将$\int_{-1}^{1} (x\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2}) \, dx$拆分为$\int_{-1}^{1} x\sqrt{1+x^2} \, dx + \int_{-1}^{1} \sqrt{1-x^2} \, dx$。 - 计算第一部分积分$\int_{-1}^{1} x\sqrt{1+x^2} \, dx$：
设$f(x) = x\sqrt{1+x^2}$，判断其奇偶性，计算$f(-x)$：
$f(-x)=(-x)\sqrt{1+(-x)^2}=-x\sqrt{1+x^2}=-f(x)$
所以$f(x)$是奇函数。
根据奇函数在关于原点对称的区间$[-a,a]$上的积分性质$\int_{-a}^{a}f(x)dx = 0$，可得$\int_{-1}^{1} x\sqrt{1+x^2} \, dx = 0$。 - 计算第二部分积分$\int_{-1}^{1} \sqrt{1-x^2} \, dx$：
设$g(x) = \sqrt{1-x^2}$，判断其奇偶性，计算$g(-x)$：
$g(-x)=\sqrt{1-(-x)^2}=\sqrt{1-x^2}=g(x)$
所以$g(x)$是偶函数。
根据偶函数在关于原点对称的区间$[-a,a]$上的积分性质$\int_{-a}^{a}g(x)dx = 2\int_{0}^{a}g(x)dx$，可得$\int_{-1}^{1} \sqrt{1-x^2} \, dx = 2 \int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2} \, dx$。
对于$\int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2} \, dx$，它表示的是单位圆$x^2 + y^2 = 1$在第一象限部分的面积，即单位圆面积的四分之一。
单位圆的面积公式为$S = \pi r^2$（其中$r = 1$），所以单位圆面积为$\pi\times1^2 = \pi$，那么单位圆面积的四分之一为$\frac{\pi}{4}$，即$\int_{0}^{1} \sqrt{1-x^2} \, dx = \frac{\pi}{4}$。
所以$\int_{-1}^{1} \sqrt{1-x^2} \, dx = 2 \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$。 - 计算原积分的值：
将两部分积分的结果相加，可得$\int_{-1}^{1} (x\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1-x^2}) \, dx = 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$。