求指导本题解题过程，谢谢您！9、若X1,x2,···,x16是来自总体N(2,σ^2 )的样本,又为样本均值,则 dfrac (4X-8)(sigma ) 服-|||-从 __ o

本题考查正态分布的性质以及中心极限定理的应用。解题的关键在于明确样本均值的分布，再利用正态分布的标准化变换得到指定统计量的分布。

1. 首先明确样本均值的分布：
   已知$X_1,X_2,\cdots,X_{16}$是来自总体$N(2,\sigma^2)$的样本，根据正态分布的性质，若总体$X\sim N(\mu,\sigma^2)$，样本容量为$n$，则样本均值$\overline{X}\sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$。
   在本题中，$\mu = 2$，$n = 16$，所以样本均值$\overline{X}\sim N(2,\frac{\sigma^2}{16})$。
2. 然后进行正态分布的标准化变换：
   对于任意一个服从正态分布$Y\sim N(\mu,\sigma^2)$的随机变量，其标准化变换为$Z=\frac{Y - \mu}{\sigma}$，此时$Z\sim N(0,1)$。
   对于样本均值$\overline{X}\sim N(2,\frac{\sigma^2}{16})$，令$Y = \overline{X}$，$\mu = 2$，$\sigma=\sqrt{\frac{\sigma^2}{16}}=\frac{\sigma}{4}$，则进行标准化变换可得：
   $Z=\frac{\overline{X}-2}{\frac{\sigma}{4}}$
3. 最后化简得到指定统计量的分布：
   对$\frac{\overline{X}-2}{\frac{\sigma}{4}}$进行化简，根据分式的运算法则$\frac{a}{b/c}=a\times\frac{c}{b}$，可得：
   $\frac{\overline{X}-2}{\frac{\sigma}{4}}=\frac{4(\overline{X}-2)}{\sigma}=\frac{4\overline{X}-8}{\sigma}$
   由于标准化变换后的随机变量服从标准正态分布$N(0,1)$，所以$\frac{4\overline{X}-8}{\sigma}\sim N(0,1)$。