题目
设 A、B、C 均为 n 阶方阵，且 A 可逆，则必成立的是（ ）(A) 若 AC = BC，则 A = B；(B) 若 BC = 0，则 B = 0；(C) 若 BA = CA，则 B = C；(D) 若 A^-1B = CA^-1，则 B = C.
设 $A$、$B$、$C$ 均为 $n$ 阶方阵，且 $A$ 可逆，则必成立的是（ ） (A) 若 $AC = BC$，则 $A = B$； (B) 若 $BC = 0$，则 $B = 0$； (C) 若 $BA = CA$，则 $B = C$； (D) 若 $A^{-1}B = CA^{-1}$，则 $B = C$.
题目解答
答案
我们来逐项分析这道题，题目给出条件：
- $ A $、$ B $、$ C $ 均为 $ n $ 阶方阵；
- $ A $ 可逆。
我们需要判断四个选项中**哪一个**在这些条件下**必然成立**。
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### 选项分析：
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#### (A) 若 $ AC = BC $，则 $ A = B $
**分析：**
这个选项说的是：如果 $ AC = BC $，那么 $ A = B $。
我们可以对等式两边同时右乘 $ C^{-1} $（前提是 $ C $ 可逆），但题目中并没有说 $ C $ 可逆，因此不能直接这么做。
举个反例：
设
$$
A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad
B = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \quad
C = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}
$$
显然 $ AC = BC = 0 $，但 $ A \ne B $，所以这个命题不成立。
✅ **(A) 不成立**
---
#### (B) 若 $ BC = 0 $，则 $ B = 0 $
**分析：**
这个选项说的是：如果 $ BC = 0 $，那么 $ B = 0 $。
但即使 $ BC = 0 $，也可能是因为 $ C $ 是奇异矩阵（不可逆），导致 $ B $ 不为零但乘以 $ C $ 后为零。
举个反例：
设
$$
B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad
C = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
$$
则
$$
BC = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}
$$
但 $ B \ne 0 $，所以这个命题不成立。
✅ **(B) 不成立**
---
#### (C) 若 $ BA = CA $，则 $ B = C $
**分析：**
这个选项说的是：如果 $ BA = CA $，那么 $ B = C $。
我们可以对等式两边同时右乘 $ A^{-1} $，因为题目中说 $ A $ 可逆。
$$
BA = CA \Rightarrow BA A^{-1} = CA A^{-1} \Rightarrow B = C
$$
✅ **(C) 成立**
---
#### (D) 若 $ A^{-1}B = CA^{-1} $，则 $ B = C $
**分析：**
我们对等式两边同时左乘 $ A $：
$$
A^{-1}B = CA^{-1} \Rightarrow A(A^{-1}B) = A(CA^{-1}) \Rightarrow B = AC A^{-1}
$$
注意右边是 $ ACA^{-1} $，不等于 $ C $，除非 $ A $ 与 $ C $ 可交换（即 $ AC = CA $），但题目中没有给出这个条件。
举个反例：
设
$$
A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad
B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad
C = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
$$
计算 $ A^{-1} $：
$$
A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
$$
计算 $ A^{-1}B $ 和 $ CA^{-1} $：
$$
A^{-1}B = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
$$
$$
CA^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}
$$
所以 $ A^{-1}B \ne CA^{-1} $，但如果我们稍微调整一下，让 $ A^{-1}B = CA^{-1} $，看看是否能推出 $ B = C $。
比如设：
$$
A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad
B = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad
C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}
$$
那么 $ A^{-1} = A $，所以：
$$
A^{-1}B = B, \quad CA^{-1} = C
$$
若 $ B = C $，那当然成立；但若 $ B \ne C $，那就不成立。
所以这个命题不一定成立。
✅ **(D) 不成立**
---
### ✅ 正确答案是：**(C)**
---
### 总结：
只有 (C) 是在题设条件下**必然成立**的。
---
**最终答案：**
$$
\boxed{(C)}
$$
解析
本题考查矩阵方程的性质及可逆矩阵的应用。关键点在于利用可逆矩阵的性质对等式进行变形，判断各选项是否必然成立。需注意：
- 矩阵乘法不满足消去律，除非涉及可逆矩阵；
- 可逆矩阵的逆矩阵可作为“消去”工具；
- 矩阵乘法不满足交换律，需谨慎处理运算顺序。
选项分析
(A) 若 $AC = BC$，则 $A = B$
- 分析：若 $C$ 不可逆，无法通过消去 $C$ 得到 $A = B$。例如，当 $C$ 为零矩阵时，$AC = BC = 0$，但 $A \neq B$。
- 结论：不成立。
(B) 若 $BC = 0$，则 $B = 0$
- 分析：$BC = 0$ 仅说明 $B$ 的列空间与 $C$ 的左零空间相关，$B$ 可非零。例如，$B$ 有非零行，$C$ 对应列全为零。
- 结论：不成立。
(C) 若 $BA = CA$，则 $B = C$
- 分析：因 $A$ 可逆，两边右乘 $A^{-1}$：
$BA = CA \implies BA A^{-1} = CA A^{-1} \implies B = C.$ - 结论：成立。
(D) 若 $A^{-1}B = CA^{-1}$，则 $B = C$
- 分析：两边左乘 $A$ 得：
$A^{-1}B = CA^{-1} \implies B = A C A^{-1}.$
除非 $A$ 与 $C$ 可交换（即 $AC = CA$），否则 $B \neq C$。反例可验证。 - 结论：不成立。