4. (4.0分) 光滑曲面 F(x,y,z)=0 的法向量是A. (F_(x)^prime,F_(y)^prime,F_(z)^prime)B. (F_(x)^prime,F_(y)^prime,1)C. (F_(x)^prime,F_(y)^prime,-F_(z)^prime)D. (F_(x)^prime,F_(y)^prime,-1)

本题考查的知识点是光滑曲面法向量的求法。解题思路是根据隐函数所确定的曲面的法向量公式来确定光滑曲面 $F(x,y,z)=0$ 的法向量。

对于由方程 $F(x,y,z)=0$ 所确定的光滑曲面，其在点 $(x,y,z)$ 处的法向量可以通过求函数 $F(x,y,z)$ 在该点的梯度得到。

梯度的定义为：若函数 $F(x,y,z)$ 具有一阶连续偏导数，则函数 $F(x,y,z)$ 在点 $(x,y,z)$ 处的梯度为 $\nabla F(x,y,z)=\left(\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial z}\right)$，通常记为 $(F_{x}^{\prime},F_{y}^{\prime},F_{z}^{\prime})$。

而曲面 $F(x,y,z)=0$ 在点 $(x,y,z)$ 处的法向量就等于函数 $F(x,y,z)$ 在该点的梯度，即法向量为 $(F_{x}^{\prime},F_{y}^{\prime},F_{z}^{\prime})$。