简答题（共6题，30.0分）49. (5.0分) 某工厂生产的产品重量（单位：克）如下：100，105，95，110，100，98，102，103。请计算这组数据的方差和标准差，并解释这两个指标在质量控制中的作用。 请输入答案

本题主要考查方差和标准差的计算以及它们在质量控制中的作用。解题思路如下：

1. 首先，根据平均数的计算公式$\bar{x}=\frac{\sum_{i = 1}^{n}x_{i}}{n}$（其中$n$是数据的个数，$x_{i}$是第$i$个数据）计算这组数据的平均值$\bar{x}$。
   • 已知数据$x_1 = 100$，$x_2 = 105$，$x_3 = 95$，$x_4 = 110$，$x_5 = 100$，$x_6 = 98$，$x_7 = 102$，$x_8 = 103$，数据个数$n = 8$。
   • 则$\bar{x}=\frac{100 + 105 + 95 + 110 + 100 + 98 + 102 + 103}{8}$
     • 先计算分子$100 + 105 + 95 + 110 + 100 + 98 + 102 + 103=(100\times2)+105 + 95+110 + 98 + 102 + 103$
     • $=200+(105 + 95)+110+(98 + 102)+103$
     • $=200 + 200+110 + 200+103$
     • $=813$
     • 所以$\bar{x}=\frac{813}{8}=101.625$。
2. 然后，根据方差的计算公式$s^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}$计算方差$s^{2}$。
   • 分别计算$(x_{i}-\bar{x})^{2}$的值：
     • $(x_1 - \bar{x})^2=(100 - 101.625)^2=(-1.625)^2 = 2.640625$
     • $(x_2 - \bar{x})^2=(105 - 101.625)^2=(3.375)^2 = 11.390625$
     • $(x_3 - \bar{x})^2=(95 - 101.625)^2=(-6.625)^2 = 43.890625$
     • $(x_4 - \bar{x})^2=(110 - 101.625)^2=(8.375)^2 = 70.140625$
     • $(x_5 - \bar{x})^2=(100 - 101.625)^2=(-1.625)^2 = 2.640625$
     • $(x_6 - \bar{x})^2=(98 - 101.625)^2=(-3.625)^2 = 13.140625$
     • $(x_7 - \bar{x})^2=(102 - 101.625)^2=(0.375)^2 = 0.140625$
     • $(x_8 - \bar{x})^2=(103 - 101.625)^2=(1.375)^2 = 1.890625$
   • 再计算$\sum_{i = 1}^{8}(x_{i}-\bar{x})^{2}=2.640625+11.390625 + 43.890625+70.140625+2.640625+13.140625+0.140625+1.890625 = 145.875$。
   • 所以$s^{2}=\frac{1}{8}\times145.875 = 18.234375$，精确表示为$s^{2}=\frac{145.875\times8}{8\times8}=\frac{1167}{64}$。
3. 最后，根据标准差的定义，标准差$s$是方差$s^{2}$的算术平方根，即$s = \sqrt{s^{2}}$。
   • 所以$s=\sqrt{18.234375}\approx4.27$，精确表示为$s=\frac{\sqrt{1167}}{8}$。
4. 对于方差和标准差在质量控制中的作用：
   • 方差和标准差是衡量数据离散程度的统计量。在质量控制中，如果方差和标准差的值较小，说明产品的重量数据相对集中在平均值附近，即产品重量比较稳定，生产过程处于良好的控制状态；如果方差和标准差的值较大，说明产品重量数据比较分散，产品重量波动较大，生产过程可能存在一些问题，需要进行改进，以保证产品质量的稳定性。