题目
30. (2.0分) 设L为包围原点的任意光滑简单闭曲线，oint_(L)(x dy-y dx)/(x^2)+y^(2)=2pi.A 对B 错A. 对B. 错
30. (2.0分) 设L为包围原点的任意光滑简单闭曲线，$\oint_{L}\frac{x dy-y dx}{x^{2}+y^{2}}=2\pi$.
A 对
B 错
A. 对
B. 错
题目解答
答案
A. 对
解析
本题考查格林公式的应用以及对曲线积分的计算。解题思路是先判断被积函数在原点处的情况，由于原点是奇点，不能直接在包含原点的区域上使用格林公式，所以我们构造一个以原点为圆心的小圆周，利用曲线积分与路径无关的性质，将原曲线积分转化为在小圆周上的积分，最后计算小圆周上的积分值。
设$P = \frac{-y}{x^{2}+y^{2}}$，$Q = \frac{x}{x^{2}+y^{2}}$。
- 计算$\frac{\partial Q}{\partial x}$和$\frac{\partial P}{\partial y}$：
- 对$Q = \frac{x}{x^{2}+y^{2}}$关于$x$求偏导数，根据除法求导公式$(\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\prime v - uv^\prime}{v^2}$，其中$u = x$，$v = x^{2}+y^{2}$，可得：
$\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{(x^{2}+y^{2}) - x\cdot 2x}{(x^{2}+y^{2})^{2}}=\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}$ - 对$P = \frac{-y}{x^{2}+y^{2}}$关于$y$求偏导数，同样根据除法求导公式，其中$u = -y$，$v = x^{2}+y^{2}$，可得：
$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{-(x^{2}+y^{2}) + y\cdot 2y}{(x^{2}+y^{2})^{2}}=\frac{y^{2}-x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}$ - 所以$\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$，$(x,y)\neq(0,0)$。
- 对$Q = \frac{x}{x^{2}+y^{2}}$关于$x$求偏导数，根据除法求导公式$(\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\prime v - uv^\prime}{v^2}$，其中$u = x$，$v = x^{2}+y^{2}$，可得：
- 作以原点为圆心，半径为$r$的小圆周$C_r$：$x = r\cos t$，$y = r\sin t$，$t$从$0$到$2\pi$，且$C_r$的方向为逆时针方向，它完全包含在$L$所围成的区域内。
- 由于$\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$在$L$与$C_r$所围成的复连通区域内成立，根据格林公式的推广，有$\oint_{L - C_r}\frac{x dy - y dx}{x^{2}+y^{2}} = 0$，即$\oint_{L}\frac{x dy - y dx}{x^{2}+y^{2}}=\oint_{C_r}\frac{x dy - y dx}{x^{2}+y^{2}}$。
- 计算$\oint_{C_r}\frac{x dy - y dx}{x^{2}+y^{2}}$：
- 已知$x = r\cos t$，$y = r\sin t$，则$dx = -r\sin t dt$，$dy = r\cos t dt$。
- 将其代入曲线积分可得：
$\begin{align*}\oint_{C_r}\frac{x dy - y dx}{x^{2}+y^{2}}&=\int_{0}^{2\pi}\frac{r\cos t\cdot r\cos t - r\sin t\cdot (-r\sin t)}{r^{2}\cos^{2}t + r^{2}\sin^{2}t}dt\\&=\int_{0}^{2\pi}\frac{r^{2}(\cos^{2}t + \sin^{2}t)}{r^{2}(\cos^{2}t + \sin^{2}t)}dt\\&=\int_{0}^{2\pi}1\cdot dt\\&=t\big|_{0}^{2\pi}\\&=2\pi - 0\\&= 2\pi\end{align*}$ - 所以$\oint_{L}\frac{x dy - y dx}{x^{2}+y^{2}} = 2\pi$。