题目
设严格单调函数y=f(x)有二阶连续导数，其反函数为x=varphi (y)，且f(1)=1，(f)'(1)=2，(f)^''(1)=3，则(varphi )^''(1)= .
设严格单调函数$y=f\left(x\right)$有二阶连续导数，其反函数为$x=\varphi \left(y\right)$，且$f\left(1\right)=1$，${f}'\left(1\right)=2$，${f}^{''}\left(1\right)=3$，则${\varphi }^{''}\left(1\right)=$ .
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定反函数的导数
由于$x=\varphi \left(y\right)$是$y=f\left(x\right)$的反函数，根据反函数的导数关系，我们有${\varphi }^{'}\left(y\right)=\dfrac {1} {{f}^{'}\left(x\right)}$。由于$f\left(1\right)=1$，则$\varphi \left(1\right)=1$，因此${\varphi }^{'}\left(1\right)=\dfrac {1} {{f}^{'}\left(1\right)}=\dfrac {1} {2}$。
步骤 2：确定反函数的二阶导数
根据反函数的二阶导数关系，我们有${\varphi }^{''}\left(y\right)=-\dfrac {{f}^{''}\left(x\right)} {{\left({f}^{'}\left(x\right)\right)}^{3}}$。由于$f\left(1\right)=1$，则$\varphi \left(1\right)=1$，因此${\varphi }^{''}\left(1\right)=-\dfrac {{f}^{''}\left(1\right)} {{\left({f}^{'}\left(1\right)\right)}^{3}}=-\dfrac {3} {{2}^{3}}=-\dfrac {3} {8}$。
由于$x=\varphi \left(y\right)$是$y=f\left(x\right)$的反函数，根据反函数的导数关系，我们有${\varphi }^{'}\left(y\right)=\dfrac {1} {{f}^{'}\left(x\right)}$。由于$f\left(1\right)=1$，则$\varphi \left(1\right)=1$，因此${\varphi }^{'}\left(1\right)=\dfrac {1} {{f}^{'}\left(1\right)}=\dfrac {1} {2}$。
步骤 2：确定反函数的二阶导数
根据反函数的二阶导数关系，我们有${\varphi }^{''}\left(y\right)=-\dfrac {{f}^{''}\left(x\right)} {{\left({f}^{'}\left(x\right)\right)}^{3}}$。由于$f\left(1\right)=1$，则$\varphi \left(1\right)=1$，因此${\varphi }^{''}\left(1\right)=-\dfrac {{f}^{''}\left(1\right)} {{\left({f}^{'}\left(1\right)\right)}^{3}}=-\dfrac {3} {{2}^{3}}=-\dfrac {3} {8}$。