题目
48、函数 =(x)^2-1 在 [ -11] 上满足罗尔定理-|||-条件的 = 。-|||-(1分)
题目解答
答案
解析
本题考查罗尔定理的应用。罗尔定理的内容为：如果函数$y = f(x)$满足以下条件：
- 在闭区间$[a,b]$上连续；
- 在开区间$(a,b)$内可导；
- $f(a)=f(b)$。
那么在$(a,b)$内至少存在一点$\xi$，使得$f'(\xi)=0$。
下面我们来验证函数$y = x^2 - 1$是否满足罗尔定理的条件：
- 连续性：
函数$y = x^2 - 1$是一个二次函数，二次函数在$R$上都是连续的，所以$y = x^2 - 1$在闭区间$[ -1,1]$上连续。 - 可导性：
对$y = x^2 - 1$求导，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，可得$y^\prime=(x^2 - 1)^\prime = 2x$。
因为$y^\prime = 2x$在开区间$( -1,1)$内有定义，所以$y = x^2 - 1$在开区间$( -1,1)$内可导。 - 端点值相等：
计算$f(-1)$和$f(1)$的值：
$f(-1)=(-1)^2 - 1=1 - 1 = 0$；
$f(1)=1^2 - 1=1 - 1 = 0$。
所以$f(-1)=f(1)$。
由于函数$y = x^2 - 1$满足罗尔定理的三个条件，那么在$( -1,1)$内至少存在一点$\xi$，使得$f'(\xi)=0$。
令$f'(\xi)=2\xi = 0$，解得$\xi = 0$，且$0\in( -1,1)$。