题目

1. (25分)极限I=lim_(xto0)((1+e^frac(1)/(x))(1-e^(1)/(x))+a[2x])存在，其中[2x]表示不大于2x的最大整数，求参数a和极限值I.

1. (25分)极限$I=\lim_{x\to0}\left(\frac{1+e^{\frac{1}{x}}}{1-e^{\frac{1}{x}}}+a[2x]\right)$存在，其中[2x]表示不大于2x的最大整数，求参数a和极限值I.

题目解答

答案

为了求解极限 $ I = \lim_{x \to 0} \left( \frac{1+e^{\frac{1}{x}}}{1-e^{\frac{1}{x}}} + a[2x] \right) $，我们需要分别考虑 $ x $ 从正方向和负方向趋近于0时的极限，并确保这两个极限相等。 ### 步骤1: 考虑 $ x \to 0^+ $ 时的极限 当 $ x \to 0^+ $ 时， $ \frac{1}{x} \to +\infty $。因此， $ e^{\frac{1}{x}} \to +\infty $。此时，表达式 $ \frac{1+e^{\frac{1}{x}}}{1-e^{\frac{1}{x}}} $ 可以近似为： \[ \frac{1+e^{\frac{1}{x}}}{1-e^{\frac{1}{x}}} \approx \frac{e^{\frac{1}{x}}}{-e^{\frac{1}{x}}} = -1. \] 另外，当 $ x \to 0^+ $ 时， $ 2x $ 是一个正的非常小的数，所以 $ [2x] = 0 $。因此，极限变为： \[ \lim_{x \to 0^+} \left( \frac{1+e^{\frac{1}{x}}}{1-e^{\frac{1}{x}}} + a[2x] \right) = \lim_{x \to 0^+} \left( -1 + a \cdot 0 \right) = -1. \] ### 步骤2: 考虑 $ x \to 0^- $ 时的极限 当 $ x \to 0^- $ 时， $ \frac{1}{x} \to -\infty $。因此， $ e^{\frac{1}{x}} \to 0 $。此时，表达式 $ \frac{1+e^{\frac{1}{x}}}{1-e^{\frac{1}{x}}} $ 可以近似为： \[ \frac{1+e^{\frac{1}{x}}}{1-e^{\frac{1}{x}}} \approx \frac{1+0}{1-0} = 1. \] 另外，当 $ x \to 0^- $ 时， $ 2x $ 是一个负的非常小的数，所以 $ [2x] = -1 $。因此，极限变为： \[ \lim_{x \to 0^-} \left( \frac{1+e^{\frac{1}{x}}}{1-e^{\frac{1}{x}}} + a[2x] \right) = \lim_{x \to 0^-} \left( 1 + a \cdot (-1) \right) = 1 - a. \] ### 步骤3: 确保极限存在 为了使极限 $ I $ 存在， $ x \to 0^+ $ 时的极限必须等于 $ x \to 0^- $ 时的极限。即： \[ -1 = 1 - a. \] 解这个方程，得到： \[ a = 2. \] ### 步骤4: 求极限值 $ I $ 将 $ a = 2 $ 代入极限表达式，得到： \[ I = \lim_{x \to 0} \left( \frac{1+e^{\frac{1}{x}}}{1-e^{\frac{1}{x}}} + 2[2x] \right). \] 由于我们已经确定了 $ a = 2 $ 时， $ x \to 0^+ $ 和 $ x \to 0^- $ 时的极限都等于 $-1$，因此： \[ I = -1. \] ### 最终答案 \[ \boxed{a = 2, I = -1} \]

解析

考查要点：本题主要考查分段函数的极限存在性、取整函数的性质以及左右极限相等条件的应用。关键在于分别计算$x \to 0^+$和$x \to 0^-$时的极限，并通过等式求解参数$a$。

解题思路：

  1. 分情况讨论：分别考虑$x$从正方向和负方向趋近于0时的极限；
  2. 简化分式：利用指数函数在$x \to 0^+$和$x \to 0^-$时的不同趋势，简化分式$\frac{1+e^{\frac{1}{x}}}{1-e^{\frac{1}{x}}}$；
  3. 处理取整函数：根据$2x$的符号确定$[2x]$的值；
  4. 联立方程：通过左右极限相等求解$a$，最终确定极限值$I$。

当$x \to 0^+$时

  1. 指数函数趋势：$\frac{1}{x} \to +\infty$，故$e^{\frac{1}{x}} \to +\infty$；
  2. 分式简化：$\frac{1+e^{\frac{1}{x}}}{1-e^{\frac{1}{x}}} \approx \frac{e^{\frac{1}{x}}}{-e^{\frac{1}{x}}} = -1$；
  3. 取整函数值：$2x > 0$且趋近于0，故$[2x] = 0$；
  4. 极限结果：$\lim_{x \to 0^+} \left( -1 + a \cdot 0 \right) = -1$。

当$x \to 0^-$时

  1. 指数函数趋势：$\frac{1}{x} \to -\infty$，故$e^{\frac{1}{x}} \to 0$；
  2. 分式简化：$\frac{1+e^{\frac{1}{x}}}{1-e^{\frac{1}{x}}} \approx \frac{1}{1} = 1$；
  3. 取整函数值：$2x < 0$且趋近于0，故$[2x] = -1$；
  4. 极限结果：$\lim_{x \to 0^-} \left( 1 + a \cdot (-1) \right) = 1 - a$。

确定参数$a$和极限$I$

  1. 左右极限相等：$-1 = 1 - a$，解得$a = 2$；
  2. 极限值$I$：代入$a = 2$，左右极限均为$-1$，故$I = -1$。