题目
20、曲线y=x^3-x^2+3x+2的上凸区间为B、(-infty,(1)/(3)) C、(-infty,3) D、((1)/(3),+infty) E、(-3,+infty)
20、曲线$y=x^{3}-x^{2}+3x+2$的上凸区间为
B、$(-\infty,\frac{1}{3})$ C、$(-\infty,3)$ D、$(\frac{1}{3},+\infty)$ E、$(-3,+\infty)$
题目解答
答案
求一阶导数：
\[ y' = 3x^2 - 2x + 3 \]
求二阶导数：
\[ y'' = 6x - 2 \]
解不等式 $ y'' < 0 $：
\[ 6x - 2 < 0 \implies x < \frac{1}{3} \]
上凸区间为：
\[ \left( -\infty, \frac{1}{3} \right) \]
答案：$\boxed{B}$
解析
本题考察利用二阶导数判断曲线的凹凸性（上凸区间），解题思路如下：
步骤1：求一阶导数
对于曲线$y = x^3 - x^2 + 3x + 2$，根据求导公式$(x^n)'=nx^{n-1}$，计算一阶导数：
$y' = 3x^2 - 2x + 3$
步骤2：求二阶导数
对一阶导数再次求导，得到二阶导数：
$y'' = 6x - 2$
步骤3：解二阶导数小于0的不等式
曲线的上凸区间定义为二阶导数$y'' < 0$的区间，解不等式：
$6x - 2 < 0 \implies 6x < 2 \implies x < \frac{1}{3}$
步骤4：确定上凸区间
不等式$x < \frac{1}{3}$对应的区间为$(-\infty, \frac{1}{3})$，即选项B。