题目
已知可导函数y=f(x)满足y=f(x)，且y=f(x)，（1）求函数y=f(x)的表达式；（2）求y=f(x)、y=f(x)及y=f(x)围成的平面图形绕y轴旋转所得旋转体的体积.
已知可导函数
满足
，且
，
（1）求函数的表达式；
（2）求
、
及
围成的平面图形绕y轴旋转所得旋转体的体积.
题目解答
答案
（1），则
，则此方程为一阶线性微分方程，一阶线性微分方程的通解公式为
，其中
，则
，
，则
，则
，满足初始条件的特解为
；（2）
，则
，则、及围成的平面图形绕y轴旋转所得旋转体的体积为
.
解析
步骤 1：求解一阶线性微分方程
$xf'(x)-f(x)-{x}^{2}+1=0$，则$f'(x)-\dfrac {1}{x}f(x)=x-\dfrac {1}{x}$，此方程为一阶线性微分方程，一阶线性微分方程的通解公式为$y={e}^{-\int }_{p}(x)dx[ \int {e}^{fp(x)dx}g(x)dx+C] $，其中$p(x)=-\dfrac {1}{x}$，$g(x)=x-\dfrac {1}{x}$，则$y={e}^{-\int }-(1-\dfrac {1}{3})dx[ \int {e}^{f(-\dfrac {1}{2})}x|(x-\dfrac {1}{x})dx+C] $$=x[ 1$ $(1-\dfrac {1}{{x}^{2}})dx+C] =x(x+\dfrac {1}{x}+C)={x}^{2}+1+Cx$，$\lim _{n\rightarrow \infty }n[ f(\dfrac {1}{2n})-1] =\dfrac {1}{2}\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {f(\dfrac {1}{2n})-1}{\dfrac {1}{2n}}=3$，则f(0)=1，f'(0)=6，则$f'(0)=({x}^{2}+1+{C}_{x})'{x}_{x=0}={(2x+C)}_{x=0}=C=6$，满足初始条件的特解为$f(x)={x}^{2}+6x+1$；
步骤 2：求解旋转体的体积
$f(x)={x}^{2}+6x+1=1$，则$x=-6$，x=0，则$y=f(x)(x\leqslant -3)$、x+3=0及y=1围成的平面图形绕y轴旋转所得旋转体的体积为$v= 2πxf(x)dx= 2πx(x^2+6x+1)dx$=${\int }_{-0}^{-1}2x({x}^{3}+6{x}^{2}+x)dx=2\pi (\dfrac {1}{4}{x}^{3}+2{x}^{8}+\dfrac {1}{2}{x}^{2})-8=\dfrac {248}{2}$ ".
$xf'(x)-f(x)-{x}^{2}+1=0$，则$f'(x)-\dfrac {1}{x}f(x)=x-\dfrac {1}{x}$，此方程为一阶线性微分方程，一阶线性微分方程的通解公式为$y={e}^{-\int }_{p}(x)dx[ \int {e}^{fp(x)dx}g(x)dx+C] $，其中$p(x)=-\dfrac {1}{x}$，$g(x)=x-\dfrac {1}{x}$，则$y={e}^{-\int }-(1-\dfrac {1}{3})dx[ \int {e}^{f(-\dfrac {1}{2})}x|(x-\dfrac {1}{x})dx+C] $$=x[ 1$ $(1-\dfrac {1}{{x}^{2}})dx+C] =x(x+\dfrac {1}{x}+C)={x}^{2}+1+Cx$，$\lim _{n\rightarrow \infty }n[ f(\dfrac {1}{2n})-1] =\dfrac {1}{2}\lim _{n\rightarrow \infty }\dfrac {f(\dfrac {1}{2n})-1}{\dfrac {1}{2n}}=3$，则f(0)=1，f'(0)=6，则$f'(0)=({x}^{2}+1+{C}_{x})'{x}_{x=0}={(2x+C)}_{x=0}=C=6$，满足初始条件的特解为$f(x)={x}^{2}+6x+1$；
步骤 2：求解旋转体的体积
$f(x)={x}^{2}+6x+1=1$，则$x=-6$，x=0，则$y=f(x)(x\leqslant -3)$、x+3=0及y=1围成的平面图形绕y轴旋转所得旋转体的体积为$v= 2πxf(x)dx= 2πx(x^2+6x+1)dx$=${\int }_{-0}^{-1}2x({x}^{3}+6{x}^{2}+x)dx=2\pi (\dfrac {1}{4}{x}^{3}+2{x}^{8}+\dfrac {1}{2}{x}^{2})-8=\dfrac {248}{2}$ ".