17.[2014大纲全国·5,5分]函数 =ln (sqrt [3](x)+1)(xgt -1) 的-|||-反函数是 ()-|||-A. =((1-{e)^x)}^3(xgt -1) ()() B. =(({e)^x-1)}^3(xgt -1)-|||-C. =((1-{e)^x)}^3(xin R) () D. =(({e)^x-1)}^3(xin R)

本题考查反函数的求解，解题思路是先从原函数中解出$x$关于$y$的表达式，再将$x$与$y$互换得到反函数，同时要确定反函数的定义域，即原函数的值域。

1. 求解$x$关于$y$的表达式：
   已知原函数$y = \ln(\sqrt[3]{x} + 1)(x > -1)$，因为对数函数与指数函数互为反函数，所以对$y = \ln(\sqrt[3]{x} + 1)$两边同时取以$e$为底的指数，可得$e^y = e^{\ln(\sqrt[3]{x} + 1)}$。
   根据对数恒等式$e^{\ln a}=a$（$a>0$），则$e^{\ln(\sqrt[3]{x} + 1)}=\sqrt[3]{x} + 1$，即$e^y = \sqrt[3]{x} + 1$。
   移项可得$\sqrt[3]{x}=e^y - 1$。
   两边同时立方，得到$x = (e^y - 1)^3$。
2. 确定反函数的定义域：
   原函数$y = \ln(\sqrt[3]{x} + 1)(x > -1)$，因为$x > -1$，所以$\sqrt[3]{x} > -1$，则$\sqrt[3]{x} + 1 > 0$。
   对于对数函数$y = \ln t$，$t=\sqrt[3]{x} + 1$，由于对数函数的值域为$R$，所以原函数的值域为$R$，那么反函数的定义域为$R$。
3. 得到反函数：
   将$x$与$y$互换，可得反函数为$y = (e^x - 1)^3(x\in R)$。