题目
将指数分数化为根式形式：(1+x^2)^-(3)/(2).
将指数分数化为根式形式：$(1+x^2)^{-\frac{3}{2}}$.
题目解答
答案
我们来将表达式 $(1 + x^2)^{-\frac{3}{2}}$ 从指数形式转化为根式形式。
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### 第一步：理解负指数和分数指数的含义
指数 $-\frac{3}{2}$ 可以拆分为两部分：
- **负号**：表示取倒数，即 $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$
- **分数指数**：$\frac{3}{2}$ 表示先开平方，再立方（或先立方再开平方）
所以：
$$
(1 + x^2)^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{(1 + x^2)^{\frac{3}{2}}}
$$
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### 第二步：将分数指数转化为根式形式
$$
(1 + x^2)^{\frac{3}{2}} = \left( \sqrt{1 + x^2} \right)^3
$$
因此：
$$
(1 + x^2)^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{\left( \sqrt{1 + x^2} \right)^3}
$$
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### 第三步：整理表达式
也可以写成：
$$
(1 + x^2)^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{(1 + x^2)^{3/2}} = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^2)^3}}
$$
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### 最终答案：
$$
\boxed{(1 + x^2)^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{\sqrt{(1 + x^2)^3}}}
$$
或者写成：
$$
\boxed{(1 + x^2)^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{\left( \sqrt{1 + x^2} \right)^3}}
$$
两种形式都正确，取决于表达习惯。
解析
本题考查指数形式与根式形式的相互转化，解题思路是先根据负指数的性质将负指数转化为正指数的倒数形式，再根据分数指数的定义将分数指数转化为根式形式。
- 处理负指数：
根据负指数的性质$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$（其中$a\neq0$），对于$(1 + x^2)^{-\frac{3}{2}}$，这里$a = 1 + x^2$，$n=\frac{3}{2}$，则有：
$(1 + x^2)^{-\frac{3}{2}}=\frac{1}{(1 + x^2)^{\frac{3}{2}}}$ - 处理分数指数：
根据分数指数的定义$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}=(\sqrt[n]{a})^m$（其中$a\geq0$，$m,n\in N^+$，且$n\gt1$），对于$(1 + x^2)^{\frac{3}{2}}$，这里$a = 1 + x^2$，$m = 3$，$n = 2$，则有：
$(1 + x^2)^{\frac{3}{2}}=\sqrt{(1 + x^2)^3}=(\sqrt{1 + x^2})^3$ - 得到最终结果：
将$(1 + x^2)^{\frac{3}{2}}=\sqrt{(1 + x^2)^3}$代入$(1 + x^2)^{-\frac{3}{2}}=\frac{1}{(1 + x^2)^{\frac{3}{2}}}$中，可得：
$(1 + x^2)^{-\frac{3}{2}}=\frac{1}{\sqrt{(1 + x^2)^3}}$
或者将$(1 + x^2)^{\frac{3}{2}}=(\sqrt{1 + x^2})^3$代入$(1 + x^2)^{-\frac{3}{2}}=\frac{1}{(1 + x^2)^{\frac{3}{2}}}$中，可得：
$(1 + x^2)^{-\frac{3}{2}}=\frac{1}{(\sqrt{1 + x^2})^3}$