4.设向量组beta_(1)=alpha_(1)+2alpha_(2)-alpha_(3),beta_(2)=alpha_(1)+2alpha_(2)+2alpha_(3),beta_(3)=alpha_(1)+alpha_(2)+2alpha_(3),且向量组alpha_(1),alpha_(2),alpha_(3)线性无关，证明向量组beta_(1),beta_(2),beta_(3)也线性无关.

本题考查向量组线性无关的证明，解题思路是根据向量组线性无关的定义，设出线性组合等于零的等式，然后将向量组的表达式代入，再利用已知向量组线性无关得到关于系数的方程组，最后求解方程组，若系数全为零，则证明该向量组组线性无关。

1. 设存在存在一组实数$k_1,k_2,k_3$，使得$k_1\beta_1 + k_2\beta_2 + k_3\beta_3 = 0$。
2. 将$\beta_{1}=\alpha_{1}+2\alpha_{2}-\alpha_{3}$，$\beta_{2}=\alpha_{1}+2\alpha_{2}+2\alpha_{3$，$\beta_{3}=\alpha_{1}+\alpha_{2}+2\alpha_{3}$代入上式可得：
   • $k_1(\alpha_{1}+2\alpha_{2}-\alpha_{3}) + k_2(\alpha_{1}+2\alpha_{2}+2\alpha_{3}) + k_3(\alpha_{1}+\alpha_{2}+2\alpha_{3}) = 0$。

• 对上式进行整理，根据向量的数乘和加法运算规则，合并同类项得：
  $(k_1 + k_2 + k_3)\alpha_{1} + (2k_1 + 2k_2 + k_3)\alpha_{2} + (-k_1 + 2k_2 + 2k_3)\alpha_{3} = 0$。

3. 因为向量组$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$线性无关，根据向量组线性无关的定义，若$1)式成立，则\(\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}$前面的系数都为$0$，即：
   $\begin{cases}k_1 + k_2 + k_3 = 0&(1)\\2k__1 + 2k_2 + k_3 = 0&(2)\\-k_1 + 2k_2 + 2k_3 = 0&(3)\end{cases}$
4. 求解上述方程组：

• 用$(2)$式减去$(1)$式可得：
  $(2k_1 + 2k_2 + k_3)-(k_1 + k_2 + k_3)=0$，
  $2k_1 + 2k_2 + k_3 - k_1 - k_2 - k_3 = 0$，
  $k_1 + k_2 = 0$，即$k_1=-k_2$。
• 将$k_1=-k_2$代入$(1)$式可得：
  $-k_2 + k_2 + k_3 = 0$，解得$k_3 = 0$。
• 将$k_1=-k_2$，$k_3 = 0$代入$(3)$式可得：
  $-(-k_2)+2k_2+2\times0 = 0$，
  $k_2 + 2k_2 = 0$，
  $3k_2 = 0$，解得$k_2 = 0$。
• 因为$k_1=-k_2$，$k_2 = 0$，所以$k_1 = 0$。

综上，$k_1 = k_2 = k_3 = 0$，根据向量组线性无关的定义可知，向量组$\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3}$线性无关。