题目
int sin 2x , dx = A. -(1)/(2) cos 2x + CB. -(1)/(2) sin 2x + CC. (1)/(2) cos 2x + CD. (1)/(2) sin 2x + C
$\int \sin 2x \, dx =$
- A. $-\frac{1}{2} \cos 2x + C$
- B. $-\frac{1}{2} \sin 2x + C$
- C. $\frac{1}{2} \cos 2x + C$
- D. $\frac{1}{2} \sin 2x + C$
题目解答
答案
为了求解积分 $\int \sin 2x \, dx$，我们可以使用换元法。设 $u = 2x$，则 $du = 2 \, dx$，或者等价地，$dx = \frac{1}{2} \, du$。
将 $u$ 和 $dx$ 代入积分中，我们得到：
\[
\int \sin 2x \, dx = \int \sin u \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int \sin u \, du.
\]
我们知道 $\sin u$ 的积分是 $-\cos u + C$，所以：
\[
\frac{1}{2} \int \sin u \, du = \frac{1}{2} \left( -\cos u + C \right) = -\frac{1}{2} \cos u + C.
\]
将 $u = 2x$ 代回，我们得到：
\[
-\frac{1}{2} \cos u + C = -\frac{1}{2} \cos 2x + C.
\]
因此，积分 $\int \sin 2x \, dx$ 的结果是 $-\frac{1}{2} \cos 2x + C$。
正确答案是 $\boxed{A}$。
解析
步骤 1：换元法
设 $u = 2x$，则 $du = 2 \, dx$，或者等价地，$dx = \frac{1}{2} \, du$。将 $u$ 和 $dx$ 代入积分中，我们得到： \[ \int \sin 2x \, dx = \int \sin u \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int \sin u \, du. \]
步骤 2：积分计算
我们知道 $\sin u$ 的积分是 $-\cos u + C$，所以： \[ \frac{1}{2} \int \sin u \, du = \frac{1}{2} \left( -\cos u + C \right) = -\frac{1}{2} \cos u + C. \]
步骤 3：代回原变量
将 $u = 2x$ 代回，我们得到： \[ -\frac{1}{2} \cos u + C = -\frac{1}{2} \cos 2x + C. \]
设 $u = 2x$，则 $du = 2 \, dx$，或者等价地，$dx = \frac{1}{2} \, du$。将 $u$ 和 $dx$ 代入积分中，我们得到： \[ \int \sin 2x \, dx = \int \sin u \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int \sin u \, du. \]
步骤 2：积分计算
我们知道 $\sin u$ 的积分是 $-\cos u + C$，所以： \[ \frac{1}{2} \int \sin u \, du = \frac{1}{2} \left( -\cos u + C \right) = -\frac{1}{2} \cos u + C. \]
步骤 3：代回原变量
将 $u = 2x$ 代回，我们得到： \[ -\frac{1}{2} \cos u + C = -\frac{1}{2} \cos 2x + C. \]