2、单选 设函数f(x)在点x=0处可导，则f(|x|)在点x=0处可导的充要条件为（）A. f'(0)≠0B. f'(0)=0C. f(0)=0D. f(0)≠0

本题考查函数可导的充要条件以及绝对值函数的导数计算。解题的关键思路是根据函数在某点可导的定义，分别计算$f(|x|)$在$x = 0$处的左导数和右导数，然后根据可导的充要条件（左导数等于右导数）来确定$f(|x|)$在$x = 0$处可导的条件。

步骤一：明确函数在某点可导的定义

函数$y = g(x)$在点$x_0$处可导的定义为$g^\prime(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{g(x_0 + \Delta x) - g(x_0)}{\Delta x}$存在，且左导数$g_{-}^\prime(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0^-} \frac{g(x_0 + \Delta x) - g(x_0)}{\Delta x}$等于右导数$g_{+}^\prime(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0^+} \frac{g(x_0 + \Delta x) - g(x_0)}{\Delta x}$。

步骤二：计算$f(|x|)$在$x = 0$处的左导数$f_{-}^\prime(0)$

当$\Delta x \to 0^-$时，$\vert\Delta x\vert = -\Delta x$，则：
$f_{-}^\prime(0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0^-} \frac{f(\vert 0 + \Delta x\vert) - f(0)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0^-} \frac{f(-\Delta x) - f(0)}{\Delta x}$
令$t = -\Delta x$，当$\Delta x \to 0^-$时，$t \to 0^+$，则上式可化为：
$f_{-}^\prime(0)=\lim\limits_{t \to 0^+} \frac{f(t) - f(0)}{-t}=-\lim\limits_{t \to 0^+} \frac{f(t) - f(0)}{t}=-f^\prime(0)$

步骤三：计算$f(|x|)$在$x = 0$处的右导数$f_{+}^\prime(0)$

当$\Delta x \to 0^+$时，$\vert\Delta x\vert = \Delta x$，则：
$f_{+}^\prime(0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0^+} \frac{f(\vert 0 + \Delta x\vert) - f(0)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0^+} \frac{f(\Delta x) - f(0)}{\Delta x}=f^\prime(0)$

步骤四：根据可导的充要条件确定$f(|x|)$在$x = 0$处可导的条件

因为$f(|x|)$在$x = 0$处可导的充要条件是$f_{-}^\prime(0)=f_{+}^\prime(0)$，即$-f^\prime(0)=f^\prime(0)$，移项可得$2f^\prime(0)=0$，解得$f^\prime(0)=0$。