题目
6.若交换二次积分的积分次序，则int_(0)^1dxint_(x)^sqrt(x)f(x,y)dy=____.
6.若交换二次积分的积分次序，则$\int_{0}^{1}dx\int_{x}^{\sqrt{x}}f(x,y)dy=$____.
题目解答
答案
原积分区域为 $0 \leq x \leq 1$，$x \leq y \leq \sqrt{x}$。
交换次序后，$y$ 的范围为 $0 \leq y \leq 1$，对于每个 $y$，$x$ 的范围为 $y^2 \leq x \leq y$。
因此，交换积分次序后得：
\[
\boxed{\int_{0}^{1}dy\int_{y^2}^{y}f(x,y)dx}
\]
解析
本题考查知识点为二重积分交换积分次序。解题思路如下：
- 首先，根据已知的二次积分确定积分区域 $D$。已知二次积分$\int_{0}^{1}dx\int_{x}^{\sqrt{x}}f(x,y)dy$，这里先对 $y$ 积分，积分下限是 $y = x$，上限是 $y=\sqrt{x}$；后对 $x$ 积分，积分下限是 $x = 0$，上限是 $x = 1$。所以积分区域 $D$ 由曲线 $y = x$，$y=\sqrt{x}$ 以及直线 $x = 0$，$x = 1$ 所围成。
- 然后，联立曲线方程 $y = x$ 和 $y=\sqrt{x}$ 求交点。将 $y = x$ 代入 $y=\sqrt{x}$，可得 $x=\sqrt{x}$，即 $x^{2}-x = 0$，因式分解得 $x(x - 1)=0$，解得 $x = 0$ 或 $x = 1$。当 $x = 0$ 时，$y = 0$；当 $x = 1$ 时，$y = 1$。所以交点坐标为 $(0,0)$ 和 $(1,1)$。
- 接着，交换积分次序，即先对 $x$ 积分，再对 $y$ 积分。确定 $y$ 的积分区间，从图形可知 $y$ 的取值范围是从 $0$ 到 $1$，即 $0\leq y\leq1$。
- 最后，对于固定的 $y$ 值，确定 $x$ 的积分区间。由 $y = x$ 可得 $x = y$，由 $y=\sqrt{x}$ 可得 $x=y^{2}$，且在积分区域内 $y^{2}\leq x\leq y$。
所以交换积分次序后，原积分变为$\int_{0}^{1}dy\int_{y^{2}}^{y}f(x,y)dx$。