题目

12. (10.0分) lim_(xtoinfty)(1-2x)^(1)/(x)=____.

12. (10.0分) $\lim_{x\to\infty}(1-2x)^{\frac{1}{x}}=$____.

题目解答

答案

设 $y = (1 - 2x)^{\frac{1}{x}}$，则 $\ln y = \frac{\ln(1 - 2x)}{x}$。
当 $x \to \infty$ 时，若 $x \to +\infty$，则 $1 - 2x \to -\infty$，$\ln(1 - 2x)$ 无实数意义。
若 $x \to -\infty$，则 $1 - 2x \to +\infty$，此时
$\lim_{x \to -\infty} \ln y = \lim_{x \to -\infty} \frac{\ln(1 - 2x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-2}{1 - 2x} = 0,$
由洛必达法则。因此，$\lim_{x \to -\infty} y = e^0 = 1$。

答案： $\boxed{1}$
（注：题目中 $x \to \infty$ 通常指 $x \to +\infty$，但原式在 $x \to +\infty$ 时无实数意义，故应考虑 $x \to -\infty$。）

解析

本题考查函数极限的计算，解题思路是先通过对数恒等式将原式进行变形，再根据极限的性质和洛必达法则来求解。

  1. 设$y = (1 - 2x)^{\frac{1}{x}}$，根据对数恒等式$a^b = e^{b\ln a}$，可得$y = e^{\ln y}$，其中$\ln y = \frac{\ln(1 - 2x)}{x}$。
  2. 分析$x$的趋近情况：
    • 当$x \to +\infty$时，$1 - 2x \to -\infty$，而对数函数$\ln t$的定义域为$t>0$，所以$\ln(1 - 2x)$无实数意义。
    • 当$x \to -\infty$时，$1 - 2x \to +\infty$，此时$\ln(1 - 2x)$有意义，我们来计算$\lim_{x \to -\infty} \ln y$。
  3. 计算$\lim_{x \to -\infty} \ln y$：
    • 此时$\lim_{x \to -\infty} \ln y = \lim_{x \to -\infty} \frac{\ln(1 - 2x)}{x}$，这是一个$\frac{\infty}{\infty}$型的极限，可以使用洛必达法则。
    • 根据洛必达法则，若$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$为$\frac{0}{0}$型或$\frac{\infty}{\infty}$型，则$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$。
    • 对$f(x)=\ln(1 - 2x)$求导，根据复合函数求导法则$(\ln u)^\prime=\frac{1}{u}\cdot u^\prime$，可得$f^\prime(x)=\frac{-2}{1 - 2x}$；$g(x)=x$，则$g^\prime(x)=1$。
    • 所以$\lim_{x \to -\infty} \frac{\ln(1 - 2x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{\frac{-2}{1 - 2x}}{1}=\lim_{x \to -\infty} \frac{-2}{1 - 2x}$。
    • 当$x \to -\infty$时，$1 - 2x \to +\infty$，则$\lim_{x \to -\infty} \frac{-2}{1 - 2x}=0$。
  4. 计算$\lim_{x \to -\infty} y$：
    • 因为$y = e^{\ln y}$，根据指数函数的连续性，$\lim_{x \to -\infty} y = \lim_{x \to -\infty} e^{\ln y}=e^{\lim_{x \to -\infty} \ln y}$。
    • 由前面计算可知$\lim_{x \to -\infty} \ln y = 0$，所以$\lim_{x \to -\infty} y = e^0 = 1$。