}5x_(1)+4x_(3)+2x_(4)=3x_(1)-x_(2)+2x_(3)+x_(4)=14x_(1)+x_(2)+2x_(3)=1x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4)=0

本题考查线性方程组的求解，解题思路是通过消元法逐步减少方程组中未知数的个数，从而求解出各个未知数的值。

1. 首先，对给定的方程组$\begin{cases}5x_{1}+4x_{3}+2x_{4}=3&(1)\\x_{1}-x_{2}+2x_{3}+x_{4}=1&(2)\\4x_{1}+x_{2}+2x_{3}=1&(3)\\x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0&(4)\end{cases}$进行处理。
   • 为了消去$x_2$，将方程$(2)$和$(3)$相加，可得：
     $(x_{1}-x_{2}+2x_{3}+x_{4})+(4x_{1}+x_{2}+2x_{3})=1 + 1$
     $x_{1}-x_{2}+2x_{3}+x_{4}+4x_{1}+x_{2}+2x_{3}=2$
     $5x_{1}+4x_{3}+x_{4}=2\quad(5)$
   • 再用方程$(1)$减去方程$(5)$，消去$x_1$和$x_3$：
     $(5x_{1}+4x_{3}+2x_{4})-(5x_{1}+4x_{3}+x_{4})=3 - 2$
     $5x_{1}+4x_{3}+2x_{4}-5x_{1}-4x_{3}-x_{4}=1$
     $x_{4}=1$
2. 把$x_{4}=1$代入方程$(1)$、$(2)$、$(4)$，得到新的方程组：
   $\begin{cases}5x_{1}+4x_{3}+2\times1=3\\x_{1}-x_{2}+2x_{3}+1=1\\x_{1}+x_{2}+x_{3}+1=0\end{cases}$
   即$\begin{cases}5x_{1}+4x_{3}=1&(6)\\x_{1}-x_{2}+2x_{3}=0&(7)\\x_{1}+x_{2}+x_{3}=-1&(8)\end{cases}$
   • 为了消去$x_2$，将方程$(7)$和$(8)$相加，可得：
     $(x_{1}-x_{2}+2x_{3})+(x_{1}+x_{2}+x_{3})=0 + (-1)$
     $x_{1}-x_{2}+2x_{3}+x_{1}+x_{2}+x_{3}=-1$
     $2x_{1}+3x_{3}=-1\quad(9)$
3. 接下来求解$x_1$和$x_3$，由方程$(9)$可得$x_{1}=\frac{-1 - 3x_{3}}{2}$，将其代入方程$(6)$：
   $5\times\frac{-1 - 3x_{3}}{2}+4x_{3}=1$
   等式两边同时乘以$2$去分母得：
   $5\times(-1 - 3x_{3})+8x_{3}=2$
   $-5 - 15x_{3}+8x_{3}=2$
   $-7x_{3}=2 + 5$
   $-7x_{3}=7$
   解得$x_{3}=-1$
4. 把$x_{3}=-1$代入$x_{1}=\frac{-1 - 3x_{3}}{2}$，可得：
   $x_{1}=\frac{-1 - 3\times(-1)}{2}=\frac{-1 + 3}{2}=1$
5. 最后把$x_{1}=1$，$x_{3}=-1$代入方程$(8)$，可得：
   $1+x_{2}+(-1)=-1$
   $x_{2}=-1$