31(2分).填空题设A,B均为3阶矩阵，且|A|=|B|=-3，则|-2AB|=( ).(请在答题纸上手写并拍照上传)

本题考查矩阵行列式的性质。解题思路是利用矩阵行列式的标量乘法性质和矩阵乘积的行列式性质来计算$\vert -2AB\vert$的值。

方法一

根据矩阵行列式的性质：若$A$是$n$阶矩阵，$k$为常数，则$\vert kA\vert = k^n\vert A\vert$；若$A,B$均为$n$阶矩阵，则$\vert AB\vert = \vert A\vert\vert B\vert$。
已知$A,B$均为$3$阶矩阵，所以$n = 3$，对于$\vert -2AB\vert$，可先根据矩阵乘积的行列式性质得到$\vert -2AB\vert = \vert -2A\vert\vert B\vert$，再根据标量乘法性质计算$\vert -2A\vert$。

• 步骤一：计算$\vert -2A\vert$
  因为$A$是$3$阶矩阵，$k=-2$，根据$\vert kA\vert = k^n\vert A\vert$可得：
  $\vert -2A\vert = (-2)^3\vert A\vert$
• 步骤二：计算$\vert -2AB\vert$
  将$\vert -2A\vert = (-2)^3\vert A\vert$代入$\vert -2AB\vert = \vert -2A\vert\vert B\vert$可得：
  $\vert -2AB\vert = (-2)^3\vert A\vert\vert B\vert$
  已知$\vert A\vert = \vert B\vert = -3$，代入上式可得：
  $\begin{align*}\vert -2AB\vert&= (-2)^3\times (-3)\times (-3)\\&= (-8)\times (-3)\times (-3)\\&= 24\times (-3)\\&= -72\end{align*}$

方法二

同样根据矩阵行列式的性质$\vert kA\vert = k^n\vert A\vert$和$\vert AB\vert = \vert A\vert\vert B\vert$，直接计算$\vert -2AB\vert$。
因为$A,B$均为$3$阶矩阵，所以$n = 3$，则：
$\vert -2AB\vert = (-2)^3\vert A\vert\vert B\vert$
将$\vert A\vert = \vert B\vert = -3$代入上式可得：
$\begin{align*}\vert -2AB\vert&= (-2)^3\times (-3)\times (-3)\\&= (-8)\times (-3)\times (-3)\\&= -8\times 9\\&= -72\end{align*}$