14、一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中只有一个是正确的.某学生靠猜测至少答对4道题的概率是( ).A. (1)/(6)B. (1)/(32)C. (1)/(64)D. (1)/(128)

本题考查二项分布的概率计算。解题思路是先明确每道题猜对的概率，然后根据二项分布的概率公式分别计算答对$4$道题和答对$5$道题的概率，最后将这两个概率相加，即可得到至少答对$4$道题的概率。

步骤一：确定每道题猜对的概率

已知每道题有$4$个可能答案，且只有一个是正确的，那么每道题猜对的概率$p = \frac{1}{4}$，猜错的概率$q = 1 - p = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$。

步骤二：明确二项分布的概率公式

若随机变量$X$服从参数为$n$和$p$的二项分布，记为$X\sim B(n,p)$，其概率公式为$P(X = k) = C_{n}^{k}p^{k}q^{n - k}$，其中$C_{n}^{k} = \frac{n!}{k!(n - k)!}$，$n$是试验次数，$k$是指定事件发生的次数，$p$是每次试验中指定事件发生的概率，$q$是每次试验中指定事件不发生的概率。

步骤三：计算答对$4$道题的概率

在本题中，$n = 5$（总题数），$k = 4$（答对的题数），$p = \frac{1}{4}$，$q = \frac{3}{4}$，代入二项分布概率公式可得：
$\begin{align*} P(X = 4) &= C_{5}^{4}(\frac{1}{4})^{4}(\frac{3}{4})^{5 - 4}\\ &= \frac{5!}{4!(5 - 4)!} \times (\frac{1}{4})^{4} \times \frac{3}{4}\\ &= \frac{5\times4!}{4!\times1!} \times \frac{1}{256} \times \frac{3}{4}\\ &= 5\times\frac{1}{256} \times \frac{3}{4}\\ &= \frac{15}{1024} \end{align*}$

步骤四：计算答对$5$道题的概率

当$k = 5$时，代入二项分布概率公式可得：
$\begin{align*} P(X = 5) &= C_{5}^{5}(\frac{1}{4})^{5}(\frac{3}{4})^{5 - 5}\\ &= \frac{5!}{5!(5 - 5)!} \times (\frac{1}{4})^{5} \times (\frac{3}{4})^{0}\\ &= \frac{5!}{5!\times0!} \times \frac{1}{1024} \times 1\\ &= 1\times\frac{1}{1024} \times 1\\ &= \frac{1}{1024} \end{align*}$

步骤五：计算至少答对$4$道题的概率

至少答对$4$道题包含答对$4$道题和答对$5$道题这两种情况，所以至少答对$4$道题的概率为：
$P(X\geq4) = P(X = 4) + P(X = 5) = \frac{15}{1024} + \frac{1}{1024} = \frac{16}{1024} = \frac{1}{64}$