5.设f(x+1)=lim_(ntoinfty)((n+x)/(n-2))^n,则f(x)=（ ）A. e^x-1B. e^x+2C. e^x+1

本题考查函数表达式的求解以及重要极限公式$\lim\limits_{n \to \infty}(1 + \frac{1}{n})^n = e$的应用。解题的关键思路是先求出$\lim\limits_{n \to \infty}(\frac{n + x}{n - 2})^n$的表达式，再通过换元法得到$f(x)$的表达式。

1. 化简$\lim\limits_{n \to \infty}(\frac{n + x}{n - 2})^n$：
   • 对$\frac{n + x}{n - 2}$进行变形，$\frac{n + x}{n - 2}=\frac{n - 2 + 2 + x}{n - 2}=1+\frac{x + 2}{n - 2}$。
   • 则$\lim\limits_{n \to \infty}(\frac{n + x}{n - 2})^n=\lim\limits_{n \to \infty}(1+\frac{x + 2}{n - 2})^n$。
   • 令$t = n - 2$，则$n = t + 2$，当$n \to \infty$时，$t \to \infty$。
   • 那么$\lim\limits_{n \to \infty}(1+\frac{x + 2}{n - 2})^n=\lim\limits_{t \to \infty}(1+\frac{x + 2}{t})^{t + 2}$。
2. 根据指数运算法则进一步化简：
   • 根据指数运算法则$a^{m+n}=a^m\times a^n$，可得$\lim\limits_{t \to \infty}(1+\frac{x + 2}{t})^{t + 2}=\lim\limits_{t \to \infty}(1+\frac{x + 2}{t})^t\times(1+\frac{x + 2}{t})^2$。
   • 对于$\lim\limits_{t \to \infty}(1+\frac{x + 2}{t})^t$，令$u=\frac{t}{x + 2}$，则$t=(x + 2)u$，当$t \to \infty$时，$u \to \infty$。
   • 所以$\lim\limits_{t \to \infty}(1+\frac{x + 2}{t})^t=\lim\limits_{u \to \infty}(1+\frac{1}{u})^{(x + 2)u}$。
   • 再根据指数运算法则$(a^m)^n=a^{mn}$，可得$\lim\limits_{u \to \infty}(1+\frac{1}{u})^{(x + 2)u}=[\lim\limits_{u \to \infty}(1+\frac{1}{u})^u]^{x + 2}$。
   • 由重要极限公式$\lim\limits_{u \to \infty}(1+\frac{1}{u})^u = e$，则$[\lim\limits_{u \to \infty}(1+\frac{1}{u})^u]^{x + 2}=e^{x + 2}$。
   • 而$\lim\limits_{t \to \infty}(1+\frac{x + 2}{t})^2=(1 + 0)^2 = 1$。
   • 所以$\lim\limits_{t \to \infty}(1+\frac{x + 2}{t})^t\times(1+\frac{x + 2}{t})^2=e^{x + 2}\times1 = e^{x + 2}$，即$f(x + 1)=e^{x + 2}$。
3. 求$f(x)$的表达式：
   • 令$t = x + 1$，则$x = t - 1$。
   • 那么$f(t)=e^{(t - 1) + 2}=e^{t + 1}$。
   • 因为函数的自变量可以用任意字母表示，所以$f(x)=e^{x + 1}$。