f(x)= ({e)^4-dfrac (1)(3))-|||-dfrac (1)(2)(e)^4-|||-dfrac (1)(2)((e)^2-dfrac (1)(3))-|||-dfrac (1)(2)(e)^2

本题考查分段函数定积分的计算。解题思路是根据定积分的可加性，将给定区间$[-1,2]$按照函数$f(x)$的分段区间$[-1,0]$和$(0,2]$进行拆分，分别计算各段区间上的定积分，然后将结果相加。

已知$f(x)=\begin{cases}e^{2x},&0\lt x\leqslant 2\\x^{2},& -1\leqslant x\leqslant 0\end{cases}$，要求$\int_{-1}^{2}f(x)dx$，根据定积分的可加性$\int_{a}^{c}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{b}^{c}f(x)dx$（其中$a\lt b\lt c$），可得：
$\int_{-1}^{2}f(x)dx=\int_{-1}^{0}f(x)dx+\int_{0}^{2}f(x)dx$

• 计算$\int_{-1}^{0}f(x)dx$：
  在区间$[-1,0]$上，$f(x)=x^{2}$，根据定积分基本公式$\int x^{n}dx=\frac{1}{n + 1}x^{n + 1}+C$（$n\neq -1$），可得：
  $\int_{-1}^{0}x^{2}dx=\left[\frac{1}{3}x^{3}\right]_{-1}^{0}$
  将上限$0$和下限$-1$代入$\frac{1}{3}x^{3}$可得：
  $\frac{1}{3}\times0^{3}-\frac{1}{3}\times(-1)^{3}=0 - (-\frac{1}{3})=\frac{1}{3}$
• 计算$\int_{0}^{2}f(x)dx$：
  在区间$(0,2]$上，$f(x)=e^{2x}$，令$u = 2x$，则$du = 2dx$，$dx=\frac{1}{2}du$。
  当$x = 0$时，$u = 2\times0 = 0$；当$x = 2$时，$u = 2\times2 = 4$。
  则$\int_{0}^{2}e^{2x}dx=\frac{1}{2}\int_{0}^{4}e^{u}du$
  根据定积分基本公式$\int e^{x}dx=e^{x}+C$，可得：
  $\frac{1}{2}\int_{0}^{4}e^{u}du=\frac{1}{2}\left[e^{u}\right]_{0}^{4}$
  将上限$4$和下限$0$代入$e^{u}$可得：
  $\frac{1}{2}(e^{4}-e^{0})=\frac{1}{2}(e^{4}-1)$
• 计算$\int_{-1}^{2}f(x)dx$：
  将$\int_{-1}^{0}f(x)dx=\frac{1}{3}$和$\int_{0}^{2}f(x)dx=\frac{1}{2}(e^{4}-1)$代入$\int_{-1}^{2}f(x)dx=\int_{-1}^{0}f(x)dx+\int_{0}^{2}f(x)dx$可得：
  $\int_{-1}^{2}f(x)dx=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}(e^{4}-1)=\frac{1}{2}e^{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}e^{4}-\frac{1}{6}=\frac{1}{2}(e^{4}-\frac{1}{3})$