题目

袋中有2个白球和3个黑球，现从中依次摸出两球(无放回)，设 X=} 1, & (若第一次摸出白球) 0, & (若第一次摸出黑球)

袋中有2个白球和3个黑球，现从中依次摸出两球(无放回)，设 $X=\begin{cases} 1, & \text{若第一次摸出白球} \\ 0, & \text{若第一次摸出黑球} \end{cases}$，$Y=\begin{cases} 1, & \text{若第二次摸出白球} \\ 0, & \text{若第二次摸出黑球} \end{cases}$，则$(X,Y)$的分布律为().

A $\begin{pmatrix} (0,0) & (0,1) & (1,0) & (1,1) \\ 0 & 1/3 & 1/3 & 1/3 \end{pmatrix}$

B $\begin{pmatrix} (0,0) & (0,1) & (1,0) & (1,1) \\ 3/10 & 1/10 & 3/10 & 3/10 \end{pmatrix}$

C $\begin{pmatrix} (0,0) & (0,1) & (1,0) & (1,1) \\ 3/10 & 3/10 & 3/10 & 1/10 \end{pmatrix}$

D $\begin{pmatrix} (0,0) & (0,1) & (1,0) & (1,1) \\ 1/3 & 1/3 & 1/3 & 0 \end{pmatrix}$

题目解答

答案

设袋中2个白球和3个黑球，依次摸出两球（无放回）。定义随机变量 $X$ 和 $Y$ 如下：

  • $X = 1$（第一次摸白球），$X = 0$（第一次摸黑球）
  • $Y = 1$（第二次摸白球），$Y = 0$（第二次摸黑球）

计算各组合概率：

  1. $P(X=1, Y=1)$：第一次白球（$\frac{2}{5}$），第二次白球（$\frac{1}{4}$），概率为 $\frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{10}$
  2. $P(X=1, Y=0)$：第一次白球（$\frac{2}{5}$），第二次黑球（$\frac{3}{4}$），概率为 $\frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{10}$
  3. $P(X=0, Y=1)$：第一次黑球（$\frac{3}{5}$），第二次白球（$\frac{2}{4}$），概率为 $\frac{3}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{10}$
  4. $P(X=0, Y=0)$：第一次黑球（$\frac{3}{5}$），第二次黑球（$\frac{2}{4}$），概率为 $\frac{3}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{10}$

分布律为：
$\boxed{\begin{pmatrix}(0,0) & (0,1) & (1,0) & (1,1) \\\frac{3}{10} & \frac{3}{10} & \frac{3}{10} & \frac{1}{10}\end{pmatrix}}$
对应选项 C。

答案： $\boxed{C}$

解析

本题考查二维离散型随机变量分布律的计算。解题思路是根据条件概率公式，分别计算出$(X,Y)$取不同值组合$(0,0)$、$(0,1)$、$(1,0)$、$(1,1)$时的概率。

计算$P(X = 0, Y = 0)$

  • 事件“$X = 0$”表示第一次摸出黑球，袋中一共有$2$个白球和$3$个黑球，所以第一次摸出黑球的概率为$P(X = 0)=\frac{3}{5}$。
  • 在第一次摸出黑球的条件下，此时袋中还剩下$2$个白球和$2$个黑球，那么第二次再摸出黑球的概率为$P(Y = 0|X = 0)=\frac{2}{4}$。
  • 根据条件概率公式$P(X = 0, Y = 0)=P(X = 0)P(Y = 0|X = 0)$，可得：
    $P(X = 0, Y = 0)=\frac{3}{5}\times\frac{2}{4}=\frac{3}{10}$

计算$P(X = 0, Y = 1)$

  • 同样，第一次摸出黑球的概率$P(X = 0)=\frac{3}{5}$。
  • 在第一次摸出黑球的条件下，此时袋中还剩下$2$个白球和$2$个黑球，那么第二次摸出白球的概率为$P(Y = 1|X = 0)=\frac{2}{4}$。
  • 根据条件概率公式$P(X = 0, Y = 1)=P(X = 0)P(Y = 1|X = 0)$，可得：
    $P(X = 0, Y = 1)=\frac{3}{5}\times\frac{2}{4}=\frac{3}{10}$

计算$P(X = 1, Y = 0)$

  • 第一次摸出白球的概率$P(X = 1)=\frac{2}{5}$。
  • 在第一次摸出白球的条件下，此时袋中还剩下$1$个白球和$3$个黑球，那么第二次摸出黑球的概率为$P(Y = 0|X = 1)=\frac{3}{4}$。
  • 根据条件概率公式$P(X = 1, Y = 0)=P(X = 1)P(Y = 0|X = 1)$，可得：
    $P(X = 1, Y = 0)=\frac{2}{5}\times\frac{3}{4}=\frac{3}{10}$

计算$P(X = 1, Y = 1)$

  • 第一次摸出白球的概率$P(X = 1)=\frac{2}{5}$。
  • 在第一次摸出白球的条件下，此时袋中还剩下$1$个白球和$3$个黑球，那么第二次摸出白球的概率为$P(Y = 1|X = 1)=\frac{1}{4}$。
  • 根据条件概率公式$P(X = 1, Y = 1)=P(X = 1)P(Y = 1|X = 1)$，可得：
    $P(X = 1, Y = 1)=\frac{2}{5}\times\frac{1}{4}=\frac{1}{10}$

所以$(X,Y)$的分布律为$\begin{pmatrix}(0,0) & (0,1) & (1,0) & (1,1) \\\frac{3}{10} & \frac{3}{10} & \frac{3}{10} & \frac{1}{10}\end{pmatrix}$。