题目

定积分 int_(0)^5 (x^3)/(x^2)+1 d x= ( )A. (2)/(25)-(1)/(2) ln 26B. (2)/(25)+(1)/(2) ln 26C. (25)/(2)-(1)/(2) ln 26D. (25)/(2)+(1)/(2) ln 26

定积分 $\int_{0}^{5} \frac{x^{3}}{x^{2}+1} d x=$ ( )

A. $\frac{2}{25}-\frac{1}{2} \ln 26$

B. $\frac{2}{25}+\frac{1}{2} \ln 26$

C. $\frac{25}{2}-\frac{1}{2} \ln 26$

D. $\frac{25}{2}+\frac{1}{2} \ln 26$

题目解答

答案

为了计算定积分 $\int_{0}^{5} \frac{x^3}{x^2+1} dx$，我们可以先对被积函数进行代数变形。

第一步：化简被积函数
由于分子 $x^3$ 的次数高于分母 $x^2+1$ 的次数，我们可以使用多项式除法或凑项法将其化简。
$\frac{x^3}{x^2+1} = \frac{x^3 + x - x}{x^2+1} = \frac{x(x^2+1) - x}{x^2+1} = x - \frac{x}{x^2+1}$

第二步：代入积分并计算
将化简后的表达式代入原积分中：
$\int_{0}^{5} \frac{x^3}{x^2+1} dx = \int_{0}^{5} \left( x - \frac{x}{x^2+1} \right) dx$
利用积分的线性性质，将其拆分为两个积分：
$= \int_{0}^{5} x dx - \int_{0}^{5} \frac{x}{x^2+1} dx$

第三步：分别计算两个积分

  1. 计算第一个积分：
    $\int_{0}^{5} x dx = \left[ \frac{1}{2}x^2 \right]_{0}^{5} = \frac{1}{2}(5^2) - \frac{1}{2}(0^2) = \frac{25}{2}$

  2. 计算第二个积分：
    对于 $\int_{0}^{5} \frac{x}{x^2+1} dx$，我们可以使用凑微分法。注意到 $d(x^2+1) = 2x dx$，所以 $x dx = \frac{1}{2} d(x^2+1)$。
    $\int_{0}^{5} \frac{x}{x^2+1} dx = \int_{0}^{5} \frac{1}{x^2+1} \cdot \frac{1}{2} d(x^2+1) = \frac{1}{2} \int_{0}^{5} \frac{1}{x^2+1} d(x^2+1)$
    $= \frac{1}{2} \left[ \ln(x^2+1) \right]_{0}^{5}$
    $= \frac{1}{2} (\ln(5^2+1) - \ln(0^2+1))$
    $= \frac{1}{2} (\ln 26 - \ln 1)$
    由于 $\ln 1 = 0$，所以该积分结果为：
    $= \frac{1}{2} \ln 26$

第四步：得出最终结果
将两部分的结果相减：
$\int_{0}^{5} \frac{x^3}{x^2+1} dx = \frac{25}{2} - \frac{1}{2} \ln 26$

对比给出的选项，该结果与选项 C 一致。

正确答案是 C。

解析

本题考查定积分的计算，解题思路是先对被积函数进行化简，然后利用积分的线性性质将积分拆分为两个较简单的积分分别计算，最后得出最终结果。

  1. 化简被积函数：
    由于分子$x^3$的次数高于分母$x^2 + 1$的次数，我们使用凑项法将其化简。
    $\frac{x^3}{x^2 + 1} = \frac{x^3 + x - x}{x^2 + 1} = \frac{x(x^2 + 1) - x}{x^2 + 1} = x - \frac{x}{x^2 + 1}$
  2. 代入积分并拆分：
    将化简后的表达式代入原积分中：
    $\int_{0}^{5} \frac{x^3}{x^2 + 1} dx = \int_{0}^{5} \left( x - \frac{x}{x^2 + 1} \right) dx$
    根据积分的线性性质$\int_{a}^{b}(f(x)-g(x))dx=\int_{a}^{b}f(x)dx-\int_{a}^{b}g(x)dx$，将其拆分为两个积分：
    $= \int_{0}^{5} x dx - \int_{0}^{5} \frac{x}{x^2 + 1} dx$
  3. 分别计算两个积分：
    • 计算$\int_{0}^{5} x dx$：
      根据积分公式$\int x^n dx=\frac{1}{n + 1}x^{n + 1}+C(n\neq -1)$，可得$\int_{0}^{5} x dx = \left[ \frac{1}{2}x^2 \right]_{0}^{5}$。
      再根据牛顿 - 莱布尼茨公式$\left.F(x)\right|_{a}^{b}=F(b)-F(a)$，则$\left[ \frac{1}{2}x^2 \right]_{0}^{5} = \frac{1}{2}(5^2) - \frac{1}{2}(0^2) = \frac{25}{2}$。
    • 计算$\int_{0}^{5} \frac{x}{x^2 + 1} dx$：
      使用凑微分法，因为$d(x^2 + 1) = 2x dx$，所以$x dx = \frac{1}{2} d(x^2 + 1)$。
      则$\int_{0}^{5} \frac{x}{x^2 + 1} dx = \int_{0}^{5} \frac{1}{x^2 + 1} \cdot \frac{1}{2} d(x^2 + 1) = \frac{1}{2} \int_{0}^{5} \frac{1}{x^2 + 1} d(x^2 + 1)$。
      根据积分公式$\int\frac{1}{u}du=\ln|u|+C$，可得$\frac{1}{2} \int_{0}^{5} \frac{1}{x^2 + 1} d(x^2 + 1)=\frac{1}{2} \left[ \ln(x^2 + 1) \right]_{0}^{5}$。
      再根据牛顿 - 莱布尼茨公式，$\frac{1}{2} \left[ \ln(x^2 + 1) \right]_{0}^{5} = \frac{1}{2} (\ln(5^2 + 1) - \ln(0^2 + 1))$。
      因为$\ln 1 = 0$，所以$\frac{1}{2} (\ln(5^2 + 1) - \ln(0^2 + 1))=\frac{1}{2} (\ln 26 - 0)=\frac{1}{2} \ln 26$。
  4. 得出最终结果：
    将两部分的结果相减：
    $\int_{0}^{5} \frac{x^3}{x^2 + 1} dx = \frac{25}{2} - \frac{1}{2} \ln 26$