16.分录题解方程：z^3+8=0，并请写出完整的计算过程。

本题考查复数方程的求解，解题思路是先将方程变形，再把常数项转化为极坐标形式，最后利用复数的$n$次方根公式求出方程的解。

1. 方程变形：
   已知方程$z^{3}+8 = 0$，移项可得$z^{3}=-8$。
2. 将$-8$表示为极坐标形式：
   对于复数$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$，也可写成$z = r\text{cis}\theta$的形式，其中$r$为复数的模，$\theta$为复数的辐角。
   对于$-8$，其模$r=\vert - 8\vert = 8$，辐角$\theta=\pi$，所以$-8 = 8(\cos\pi + i\sin\pi)=8\text{cis}(\pi)$。
3. 求$z$的立方根：
   根据复数的$n$次方根公式，若$z^{n}=r\text{cis}\theta$，则$z = \sqrt[n]{r}\text{cis}\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right)$，其中$k = 0,1,\cdots,n - 1$。
   在$z^{3}=8\text{cis}(\pi)$中，$n = 3$，$r = 8$，$\theta=\pi$，所以$z = \sqrt[3]{8}\text{cis}\left(\frac{\pi + 2k\pi}{3}\right)=2\text{cis}\left(\frac{\pi + 2k\pi}{3}\right)$，$k = 0,1,2$。
4. 分别计算$k$取不同值时$z$的值：
   • 当$k = 0$时：
     $z_0 = 2\text{cis}\left(\frac{\pi}{3}\right)=2\left(\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}\right)$
     根据特殊三角函数值$\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$，$\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得$z_0 = 2\times\left(\frac{1}{2}+i\times\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=1 + i\sqrt{3}$。
   • 当$k = 1$时：
     $z_1 = 2\text{cis}(\pi)=2(\cos\pi + i\sin\pi)$
     根据特殊三角函数值$\cos\pi=-1$，$\sin\pi = 0$，可得$z_1 = 2\times(-1 + i\times0)=-2$。
   • 当$k = 2$时：
     $z_2 = 2\text{cis}\left(\frac{5\pi}{3}\right)=2\left(\cos\frac{5\pi}{3}+i\sin\frac{5\pi}{3}\right)$
     根据特殊三角函数值$\cos\frac{5\pi}{3}=\frac{1}{2}$，$\sin\frac{5\pi}{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得$z_2 = 2\times\left(\frac{1}{2}+i\times\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right)=1 - i\sqrt{3}$。