求解微分方程 '+y-x(e)^-(x^2)=0 的通解..

考查要点：本题主要考查一阶线性微分方程的解法，需要掌握积分因子法的应用。

解题核心思路：

1. 将原方程整理为标准形式$y' + P(x)y = Q(x)$，确定$P(x)$和$Q(x)$。
2. 计算积分因子$\mu(x) = e^{\int P(x) dx}$，并对方程两边同乘积分因子，将方程转化为全微分形式。
3. 对全微分方程两边积分，得到通解。

破题关键点：

• 识别方程类型：通过整理方程结构，确认为一阶线性微分方程。
• 正确计算积分因子：注意积分因子的计算需对$P(x)$积分。
• 处理特殊积分：右侧积分$\int x e^{-x^2} dx$需用换元法。

将原方程$xy' + y = x e^{-x^2}$整理为标准形式：
$y' + \frac{1}{x} y = e^{-x^2}$

步骤1：计算积分因子
积分因子为：
$\mu(x) = e^{\int \frac{1}{x} dx} = e^{\ln |x|} = x$

步骤2：方程两边同乘积分因子
原方程变为：
$x y' + y = x e^{-x^2}$
左边可写为全微分形式：
$\frac{d}{dx}(x y) = x e^{-x^2}$

步骤3：积分求解
对两边积分：
$\int \frac{d}{dx}(x y) dx = \int x e^{-x^2} dx$
左边积分结果为$x y$，右边通过换元法计算：
令$u = -x^2$，则$du = -2x dx$，即$x dx = -\frac{1}{2} du$，得：
$\int x e^{-x^2} dx = -\frac{1}{2} \int e^u du = -\frac{1}{2} e^u + C = -\frac{1}{2} e^{-x^2} + C$

步骤4：整理通解
联立得：
$x y = -\frac{1}{2} e^{-x^2} + C$
解得通解：
$y = -\frac{1}{2x} e^{-x^2} + \frac{C}{x}$