已知四阶行列式 D 的第三列的元素依次为 -12, 0, 1，它们的代数余子式依次为 5, -3, -7, -4，则 D= ( );A. 5B. -5C. 15D. -15

本题考查行列式按列展开定理的应用。解题思路是根据行列式按列展开定理，若$n$阶行列式$D$中某一列（行）的元素与另一列（行）对应元素的代数余子式乘积之和为$0$，而某一列（行）的元素与该列（行）对应元素的代数余子式乘积之和等于行列式的值。

已知四阶行列式$D$的第三列元素依次为$a_{13}=-1$，$a_{23}=2$，$a_{33}=0$，$a_{43}=1$，它们的代数余子式依次为$A_{13}=5$，$A_{23}=-3$，$A_{33}=-7$，$A_{43}=-4$。

根据行列式按列展开定理$D = a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+a_{i3}A_{i3}+a_{i4}A_{i4}$（$i = 1,2,3,4$），这里按第三列展开可得：

$\begin{align*}D&=a_{13}A_{13}+a_{23}A_{23}+a_{33}A_{33}+a_{43}A_{43}\\&=(-1)\times5 + 2\times(-3)+0\times(-7)+1\times(-4)\\&=-5-6 + 0-4\\&=-11-4\\&=-15\end{align*}$