9.下列命题中正确的是（）A. 若f(x)和g(x)都是无界变量，则f(x)+g(x)必为无界变量.B. 若f(x)和g(x)都是无界变量，则f(x)g(x)必为无界变量.C. 若f(x)和g(x)都是无界变量，则f(x)g(x)就不可能是无穷小量.D. 若f(x)g(x)是无界变量，则f(x)和g(x)中至少有一个为无界变量.

本题主要考查无界变量和无穷小量的概念及相关性质，解题的关键在于通过举反例来判断各个选项的正确性。

选项A

要判断“若$f(x)$和$g(x)$都是无界变量，则$f(x)+g(x)$必为无界变量”是否正确，我们可以通过构造反例来进行验证。
设$f(x)=x$，$g(x)= -x$，当$x\to +\infty$时，对于$f(x)=x$，对于任意给定的正数$M_1$，总存在$X_1 = M_1$，当$x > X_1$时，有$\vert f(x)\vert=\vert x\vert> M_1$，所以$f(x)$是无界变量；对于$g(x)= -x$，对于任意给定的正数$M_2$，总存在$X_2 = M_2$，当$x > X_2$时，有$\vert g(x)\vert=\vert -x\vert> M_2$，所以$g(x)$也是无界变量。
而$f(x)+g(x)=x + (-x)=0$，$0$是有界变量，这就说明存在$f(x)$和$g(x)$都是无界变量，但$f(x)+g(x)$是有界变量的情况，所以选项A错误。

选项B

同样通过构造反例来判断“若$f(x)$和$g(x)$都是无界变量，则$f(x)g(x)$必为无界变量”的正确性。
设$f(x)=\begin{cases}n, & x = n, n\in N^+ \\ 0, & x\neq n, n\in N^+\end{cases}$，$g(x)=\begin{cases}0, & x = n, n\in N^+ \\ n, & x\neq n, n\in N^+\end{cases}$。
对于$f(x)$，当$x$取正整数$n$时，$f(n)=n$，对于任意给定的正数$M_1$，总存在正整数$N_1 = [M_1]+1$（$[M_1]$表示不超过$M_1$的最大整数），当$n > N_1$时，有$\vert f(n)\vert=n> M_1$，所以$f(x)$是无界变量；对于$g(x)$，当$x$取非正整数时，$g(x)$在这些点的值可以任意大，对于任意给定的正数$M_2$，总存在正整数$N_2 = [M_2]+1$，当$x$取合适的非正整数时，有$\vert g(x)\vert> M_2$，所以$g(x)$也是无界变量。
但是$f(x)g(x)=0$，$0$是有界变量，这表明存在$f(x)$和$g(x)$都是无界变量，但$f(x)g(x)$是有界变量的情况，所以选项B错误。

选项C

还是通过构造反例来判断“若$f(x)$和$g(x)$都是无界变量，则$f(x)g(x)$就不可能是无穷小量”的正确性。
设$f(x)=\begin{cases}n, & x = \frac{1}{n}, n\in N^+ \\ 0, & x\neq \frac{1}{n}, n\in N^+\end{cases}$，$g(x)=\begin{cases}0, & x = \frac{1}{n}, n\in N^+ \\ n, & x\neq \frac{1}{n}, n\in N^+\end{cases}$。
对于$f(x)$，当$x$取$\frac{1}{n}$（$n\in N^+$）时，$f(\frac{1}{n})=n$，对于任意给定的正数$M_1$，总存在正整数$N_1 = [M_1]+1$，当$n > N_1$时，有$\vert f(\frac{1}{n})\vert=n> M_1$，所以$f(x)$是无界变量；对于$g(x)$，当$x$取非$\frac{1}{n}$（$n\in N^+$）的值时，$g(x)$在这些点的值可以任意大，对于任意给定的正数$M_2$，总存在正整数$N_2 = [M_2]+1$，当$x$取合适的非$\frac{1}{n}$的值时，有$\vert g(x)\vert> M_2$，所以$g(x)$也是无界变量。
而$f(x)g(x)=0$，当$x\to 0$时，$0$是无穷小量，这说明存在$f(x)$和$g(x)$都是无界变量，但$f(x)g(x)$是无穷小量的情况，所以选项C错误。

选项D

采用反证法来证明“若$f(x)g(x)$是无界变量，则$f(x)$和$g(x)$中至少有一个为无界变量”。
假设$f(x)$和$g(x)$都是有界变量，即存在正数$M_1$和$M_2$，使得$\vert f(x)\vert\leq M_1$，$\vert g(x)\vert\leq M_2$对定义域内的所有$x$都成立。
那么$\vert f(x)g(x)\vert=\vert f(x)\vert\vert g(x)\vert\leq M_1M_2$，这表明$f(x)g(x)$是有界变量，这与已知$f(x)g(x)$是无界变量矛盾，所以假设不成立，即$f(x)$和$g(x)$中至少有一个为无界变量，所以选项D正确。