题目

1、设A为3阶方阵，且|A|=2，则|3A^-1-2A^*|=

1、设A为3阶方阵，且$|A|=2$，则$|3A^{-1}-2A^{*}|$=

题目解答

答案

由题意，$ A $ 为 3 阶方阵且 $ |A| = 2 $。利用性质 $ A^* = |A|A^{-1} $，得 $ A^* = 2A^{-1} $。代入原式：
$3A^{-1} - 2A^* = 3A^{-1} - 2(2A^{-1}) = -A^{-1}.$
计算行列式：
$|-A^{-1}| = (-1)^3 |A^{-1}| = -\frac{1}{|A|} = -\frac{1}{2}.$
或另解：
$3A^{-1} - 2A^* = 3\left(\frac{1}{2}A^*\right) - 2A^* = -\frac{1}{2}A^*,$
$\left|-\frac{1}{2}A^*\right| = \left(-\frac{1}{2}\right)^3 |A^*| = -\frac{1}{8} \times 4 = -\frac{1}{2}.$
答案： $\boxed{-\frac{1}{2}}$

解析

本题考查方阵的逆矩阵、伴随矩阵的性质以及行列式的运算法则。解题的关键在于利用伴随矩阵与逆矩阵的关系$A^{*}=|A|A^{-1}$对原式进行化简，再结合行列式的性质$\vert kA\vert = k^{n}\vert A\vert$（$n$为方阵的阶数）和$\vert A^{-1}\vert=\frac{1}{\vert A\vert}$、$\vert A^{*}\vert=\vert A\vert^{n - 1}$来计算行列式的值。

方法一

  1. 已知$A$为$3$阶方阵且$\vert A\vert = 2$，根据伴随矩阵与逆矩阵的关系$A^{*}=|A|A^{-1}$，可得$A^{*}=2A^{-1}$。
  2. 将$A^{*}=2A^{-1}$代入$\vert 3A^{-1}-2A^{*}\vert$中：
    • $\vert 3A^{-1}-2A^{*}\vert=\vert 3A^{-1}-2\times(2A^{-1})\vert$
    • 先计算括号内的式子：$3A^{-1}-2\times(2A^{-1})=3A^{-1}-4A^{-1}=-A^{-1}$，所以$\vert 3A^{-1}-2A^{*}\vert=\vert -A^{-1}\vert$。
  3. 根据行列式的性质$\vert kA\vert = k^{n}\vert A\vert$（$n$为方阵的阶数），这里$k = - 1$，$n = 3$，可得$\vert -A^{-1}\vert=(-1)^{3}\vert A^{-1}\vert$。
  4. 又因为$\vert A^{-1}\vert=\frac{1}{\vert A\vert}$，且$\vert A\vert = 2$，所以$(-1)^{3}\vert A^{-1}\vert=-1\times\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}$。

方法二

  1. 由$A^{*}=|A|A^{-1}$可得$A^{-1}=\frac{1}{\vert A\vert}A^{*}$，因为$\vert A\vert = 2$，所以$A^{-1}=\frac{1}{2}A^{*}$。
  2. 将$A^{-1}=\frac{1}{2}A^{*}$代入$\vert 3A^{-1}-2A^{*}\vert$中：
    • $\vert 3A^{-1}-2A^{*}\vert=\vert 3\times\frac{1}{2}A^{*}-2A^{*}\vert$
    • 先计算括号内的式子：$3\times\frac{1}{2}A^{*}-2A^{*}=\frac{3}{2}A^{*}-2A^{*}=-\frac{1}{2}A^{*}$，所以$\vert 3A^{-1}-2A^{*}\vert=\vert -\frac{1}{2}A^{*}\vert$。
  3. 根据行列式的性质$\vert kA\vert = k^{n}\vert A\vert$（$n$为方阵的阶数），这里$k = -\frac{1}{2}$，$n = 3$，可得$\vert -\frac{1}{2}A^{*}\vert=(-\frac{1}{2})^{3}\vert A^{*}\vert$。
  4. 再根据$\vert A^{*}\vert=\vert A\vert^{n - 1}$，$n = 3$，$\vert A\vert = 2$，可得$\vert A^{*}\vert=\vert A\vert^{3 - 1}=2^{2}=4$。
  5. 所以$(-\frac{1}{2})^{3}\vert A^{*}\vert=-\frac{1}{8}\times4=-\frac{1}{2}$。