题目

求函数 (x)=dfrac ({x)^3+3(x)^2-x-3}({x)^2+x-6} 的连续区间,并 求 极限 lim f(x),-|||-limf(x)及lim f(x).

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查分式函数的连续区间判断及极限的计算，涉及分式函数的定义域、因式分解、极限存在性判断及计算方法。

解题核心思路：

  1. 确定连续区间：分式函数连续的条件是分母不为零，因此需先求出分母为零的点，排除这些点后得到连续区间。
  2. 计算极限：
    • 直接代入法：当趋近点在定义域内时，直接代入计算。
    • 化简约分法：当趋近点使分母为零但分子不为零时，极限不存在（趋向无穷）；若分子分母均为零，则通过因式分解约分后计算。

破题关键点：

  • 分母因式分解：找到分母的零点，确定间断点。
  • 分子因式分解：判断趋近点是否为可去间断点或无穷间断点。
  • 极限方向分析：趋近于分母为零的点时，需分析左右极限的符号。

1. 确定连续区间

分母为 $x^2 + x - 6$，因式分解得：
$x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2)$
因此，分母在 $x = -3$ 和 $x = 2$ 时为零，函数在这些点无定义。
连续区间为：$(-\infty, -3)$，$(-3, 2)$，$(2, +\infty)$。

2. 计算极限

$\lim\limits_{x \to 0} f(x)$

直接代入 $x = 0$：
$f(0) = \frac{0^3 + 3 \cdot 0^2 - 0 - 3}{0^2 + 0 - 6} = \frac{-3}{-6} = \frac{1}{2}$

$\lim\limits_{x \to -3} f(x)$

  1. 检查分子是否为零：代入 $x = -3$：
    $(-3)^3 + 3(-3)^2 - (-3) - 3 = -27 + 27 + 3 - 3 = 0$
    分子也为零，说明可约分。
  2. 因式分解：
    • 分子：$x^3 + 3x^2 - x - 3 = (x + 3)(x^2 - 1)$
    • 分母：$(x + 3)(x - 2)$
      约分后得：
      $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2} \quad (x \neq -3)$
  3. 代入化简后的表达式：
    $\lim_{x \to -3} \frac{x^2 - 1}{x - 2} = \frac{(-3)^2 - 1}{-3 - 2} = \frac{8}{-5} = -\frac{8}{5}$

$\lim\limits_{x \to 2} f(x)$

  1. 检查分子是否为零：代入 $x = 2$：
    $2^3 + 3 \cdot 2^2 - 2 - 3 = 8 + 12 - 2 - 3 = 15 \neq 0$
    分母为零，分子非零，极限趋向无穷。
  2. 分析方向：
    • 当 $x \to 2^+$ 时，分母 $(x - 2) \to 0^+$，分子为正，极限为 $+\infty$。
    • 当 $x \to 2^-$ 时，分母 $(x - 2) \to 0^-$，分子为正，极限为 $-\infty$。
      因此，$\lim\limits_{x \to 2} f(x)$ 不存在，趋向无穷大。