3.[简答题]设函数f(x)在[0,π]上连续，在(0,π)内可导，且f(0)=f(π)=0.证明：至少存在一点ξ∈(0,π)，使得f'(ξ)=-f(ξ).

本题考查罗尔定理的应用。解题的关键思路是通过构造一个合适的辅助函数，使其满足罗尔定理的条件，然后利用罗尔定理得出结论。

详细解析

1. 构造辅助函数：
   为了证明$f'(\xi)= - f(\xi)$，我们构造辅助函数$g(x)=e^{x}f(x)$。
   • 因为$f(x)$在$[0,\pi]$上连续，在$(0,\pi)$内可导，而指数函数$y = e^{x}$在$R$上连续且可导，根据连续函数和可导函数的乘积性质，可知$g(x)=e^{x}f(x)$在$[0,\pi]$上连续，在$(0,\pi)$内可导。
2. 验证辅助函数满足罗尔定理条件：
   • 计算$g(0)$：
     根据函数$g(x)=e^{x}f(x)$，将$x = 0$代入可得$g(0)=e^{0}f(0)$。
     已知$e^{0}=1$且$f(0)=0$，所以$g(0)=1\times0 = 0$。
   • 计算$g(\pi)$：
     将$x=\pi$代入$g(x)=e^{x}f(x)$，可得$g(\pi)=e^{\pi}f(\pi)$。
     已知$f(\pi)=0$，所以$g(\pi)=e^{\pi}\times0 = 0$。
     此时$g(x)$满足在区间$[0,\pi]$端点处函数值相等，即$g(0)=g(\pi)=0$，结合前面已证$g(x)$在$[0,\pi]$上连续，在$(0,\pi)$内可导，可知$g(x)$满足罗尔定理的条件。
3. 应用罗尔定理：
   根据罗尔定理，如果函数$y = g(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，且$g(a)=g(b)$，那么在$(a,b)$内至少存在一点$\xi$，使得$g'(\xi)=0$。
   对于$g(x)$在$[0,\pi]$上，存在$\xi\in(0,\pi)$，使得$g'(\xi)=0$。
4. 求$g(x)$的导数并得出结论：
   • 对$g(x)=e^{x}f(x)$求导，根据乘积的求导法则$(uv)^\prime = u^\prime v+uv^\prime$，其中$u = e^{x}$，$v = f(x)$。
     因为$(e^{x})^\prime=e^{x}$，$f^\prime(x)$为$f(x)$的导数，所以$g^\prime(x)=(e^{x})^\prime f(x)+e^{x}f^\prime(x)=e^{x}f(x)+e^{x}f^\prime(x)=e^{x}(f(x)+f^\prime(x))$。
   • 由$g'(\xi)=0$可得：
     $e^{\xi}(f(\xi)+f'(\xi)) = 0$。
     因为$e^{\xi}\gt0$恒成立，所以$f(\xi)+f'(\xi)=0$，移项可得$f'(\xi)= - f(\xi)$。