题目
若行列式为零,则行列式中必有两行(列)元素成比例.A. 对B. 错
若行列式为零,则行列式中必有两行(列)元素成比例.
A. 对
B. 错
题目解答
答案
B. 错
解析
本题考查行列式的性质以及行列式值为零的条件。解题的关键在于明确行列式值为零的多种情况,并通过反例来判断该命题的正确性。
行列式的值为零并不一定意味着行列式中必有两行(列)元素成比例。行列式的值为零有多种情况,比如某一行(列)元素全为零,或者行列式经过一系列初等变换后某一行(列)元素全为零等。
下面我们通过一个反例来证明该命题错误。考虑二阶行列式$\begin{vmatrix}1 & 2 \\ 2 & 4\end{vmatrix}$,根据二阶行列式的计算公式$\begin{vmatrix}a & b \\ c & d\end{vmatrix}=ad - bc$,可得:
$\begin{vmatrix}1 & 2 \\ 2 & 4\end{vmatrix}=1\times4 - 2\times2$
$=4 - 4$
$=0$
在这个行列式中,第一行元素是$1$和$2$,第二行元素是$2$和$4$,第二行元素是第一行元素的$2$倍,即两行元素成比例。
再考虑三阶行列式$\begin{vmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{vmatrix}$,根据三阶行列式按第三行展开的方法,因为第三行元素全为$0$,所以该行列式的值为$0$。但在这个行列式中,任意两行(列)元素都不成比例。
由此可见,存在行列式值为零,但其中任意两行(列)元素不成比例的情况,所以“若行列式为零,则行列式中必有两行(列)元素成比例”这一命题是错误的。