直线(x)/(3)=(y-2)/(4)=(z-5)/(-1)与直线{2x+2y-z=-23, 3x+8y+z=18.之间的夹角为(）.A. (pi)/(4)B. (pi)/(6)C. (pi)/(3)D. (pi)/(2)

本题考查两直线夹角的计算，解题的关键在于先求出两条直线的方向向量，再利用向量的夹角公式来计算两直线的夹角。

步骤一：求直线$\frac{x}{3}=\frac{y - 2}{4}=\frac{z - 5}{-1}$的方向向量$\vec{s_1}$

对于直线的对称式方程$\frac{x - x_0}{m}=\frac{y - y_0}{n}=\frac{z - z_0}{p}$，其方向向量为$\vec{s}=(m,n,p)$。
在直线$\frac{x}{3}=\frac{y - 2}{4}=\frac{z - 5}{-1}$中，$m = 3$，$n = 4$，$p = -1$，所以该直线的方向向量$\vec{s_1}=(3,4,-1)$。

步骤二：求直线$\begin{cases}2x + 2y - z = -23\\3x + 8y + z = 18\end{cases}$的方向向量$\vec{s_2}$

设直线$\begin{cases}A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0\\A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0\end{cases}$，其方向向量$\vec{s}$为两平面法向量$\vec{n_1}=(A_1,B_1,C_1)$与$\vec{n_2}=(A_2,B_2,C_2)$的向量积，即$\vec{s}=\vec{n_1}\times\vec{n_2}$。
对于直线$\begin{cases}2x + 2y - z = -23\\3x + 8y + z = 18\end{cases}$，平面$2x + 2y - z = -23$的法向量$\vec{n_1}=(2,2,-1)$，平面$3x + 8y + z = 18$的法向量$\vec{n_2}=(3,8,1)$。
根据向量积公式$\vec{a}\times\vec{b}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\end{vmatrix}=\vec{i}(a_2b_3 - a_3b_2)-\vec{j}(a_1b_3 - a_3b_1)+\vec{k}(a_1b_2 - a_2b_1)$，可得：
$\begin{align*} \vec{s_2}&=\vec{n_1}\times\vec{n_2}\\ &=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\2&2&-1\\3&8&1\end{vmatrix}\\ &=\vec{i}(2\times1 - (-1)\times8)-\vec{j}(2\times1 - (-1)\times3)+\vec{k}(2\times8 - 2\times3)\\ &=\vec{i}(2 + 8)-\vec{j}(2 + 3)+\vec{k}(16 - 6)\\ &=10\vec{i}-5\vec{j}+10\vec{k}\\ &=(10,-5,10) \end{align*}$

步骤三：计算两直线方向向量的夹角余弦值$\cos\theta$

设两直线的夹角为$\varphi$（$0\leqslant\varphi\leqslant\frac{\pi}{2}$），两直线方向向量的夹角为$\theta$，则$\cos\varphi =|\cos\theta|$。
根据向量点积公式$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\times|\vec{b}|\times\cos\theta$，可得$\cos\theta=\frac{\vec{s_1}\cdot\vec{s_2}}{|\vec{s_1}|\times|\vec{s_2}|}$。

• 计算$\vec{s_1}\cdot\vec{s_2}$：
  $\vec{s_1}\cdot\vec{s_2}=3\times10 + 4\times(-5) + (-1)\times10 = 30 - 20 - 10 = 0$
• 计算$|\vec{s_1}|$：
  $|\vec{s_1}|=\sqrt{3^2 + 4^2 + (-1)^2}=\sqrt{9 + 16 + 1}=\sqrt{26}$
• 计算$|\vec{s_2}|$：
  $|\vec{s_2}|=\sqrt{10^2 + (-5)^2 + 10^2}=\sqrt{100 + 25 + 100}=\sqrt{225}=15$
• 计算$\cos\theta$：
  $\cos\theta=\frac{\vec{s_1}\cdot\vec{s_2}}{|\vec{s_1}|\times|\vec{s_2}|}=\frac{0}{\sqrt{26}\times15}=0$

步骤四：计算两直线的夹角$\varphi$

因为$\cos\varphi =|\cos\theta| = 0$，且$0\leqslant\varphi\leqslant\frac{\pi}{2}$，所以$\varphi = \frac{\pi}{2}$。