题目

6.极限lim_(xto1^-)(1-x^2)^(1)/(ln(1-x))=____.

6.极限$\lim_{x\to1^{-}}(1-x^{2})^{\frac{1}{\ln(1-x)}}=$____.

题目解答

答案

设 $y = (1-x^2)^{\frac{1}{\ln(1-x)}}$，取对数得： \[ \ln y = \frac{\ln(1-x^2)}{\ln(1-x)} = \frac{\ln(1-x) + \ln(1+x)}{\ln(1-x)} = 1 + \frac{\ln(1+x)}{\ln(1-x)} \] 当 $x \to 1^-$ 时，$\ln(1+x) \to \ln 2$，$\ln(1-x) \to -\infty$，故 $\frac{\ln(1+x)}{\ln(1-x)} \to 0$。因此： \[ \lim_{x \to 1^-} \ln y = 1 \quad \Rightarrow \quad \lim_{x \to 1^-} y = e \] 或使用洛必达法则： \[ \lim_{x \to 1^-} \frac{\ln(1-x^2)}{\ln(1-x)} = \lim_{x \to 1^-} \frac{-2x/(1-x^2)}{-1/(1-x)} = \lim_{x \to 1^-} \frac{2x}{1+x} = 1 \] 答案：$\boxed{e}$

解析

考查要点：本题主要考查极限的求解方法，特别是涉及指数函数的极限处理，需要灵活运用对数转换和洛必达法则。

解题核心思路：
当遇到形如$[f(x)]^{g(x)}$的极限且属于未定式时，通常通过取对数将其转化为$\exp\left(\lim \frac{\ln f(x)}{1/g(x)}\right)$的形式，再结合洛必达法则或等价无穷小替换求解。

破题关键点：

分解底数：将$1-x^2$分解为$(1-x)(1+x)$，简化对数表达式。
拆分对数：利用$\ln(ab) = \ln a + \ln b$，将分子拆分为可约简的形式。
极限分析：当$x \to 1^-$时，$\ln(1-x) \to -\infty$，而$\ln(1+x) \to \ln 2$，需判断分式整体的极限趋势。
洛必达法则：若直接拆分困难，可对原分式应用洛必达法则，注意导数的正确计算。

设$y = (1-x^2)^{\frac{1}{\ln(1-x)}}$，取自然对数得：
$\ln y = \frac{\ln(1-x^2)}{\ln(1-x)}.$

步骤1：分解分子
将$1-x^2$分解为$(1-x)(1+x)$，则：
$\ln(1-x^2) = \ln(1-x) + \ln(1+x).$

步骤2：拆分分式
代入后分式变为：
$\ln y = \frac{\ln(1-x) + \ln(1+x)}{\ln(1-x)} = 1 + \frac{\ln(1+x)}{\ln(1-x)}.$

步骤3：分析极限趋势
当$x \to 1^-$时：

$\ln(1+x) \to \ln 2$（有限值），
$\ln(1-x) \to -\infty$，故$\frac{\ln(1+x)}{\ln(1-x)} \to 0$。

因此：
$\lim_{x \to 1^-} \ln y = 1 \quad \Rightarrow \quad \lim_{x \to 1^-} y = e^1 = e.$

步骤4（备选）：洛必达法则验证
对原分式$\frac{\ln(1-x^2)}{\ln(1-x)}$应用洛必达法则：
$\begin{aligned}\lim_{x \to 1^-} \frac{\ln(1-x^2)}{\ln(1-x)} &= \lim_{x \to 1^-} \frac{\frac{-2x}{1-x^2}}{\frac{-1}{1-x}} \\&= \lim_{x \to 1^-} \frac{2x(1-x)}{1-x^2} \\&= \lim_{x \to 1^-} \frac{2x}{1+x} = 1.\end{aligned}$