题目

3.设X服从参数λ=1的指数分布，Y服从参数λ=2的指数分布，且X与Y独立，求P(X<2Y)。

3.设X服从参数λ=1的指数分布，Y服从参数λ=2的指数分布，且X与Y独立，求P{X<2Y}。

题目解答

答案

为了求解 $ P\{X < 2Y\} $，其中 $ X $ 服从参数 $ \lambda = 1 $ 的指数分布， $ Y $ 服从参数 $ \lambda = 2 $ 的指数分布，且 $ X $ 与 $ Y $ 独立，我们可以按照以下步骤进行： 1. **写出 $ X $ 和 $ Y $ 的概率密度函数：** $ X $ 的概率密度函数为： \[ f_X(x) = e^{-x}, \quad x \geq 0 \] $ Y $ 的概率密度函数为： \[ f_Y(y) = 2e^{-2y}, \quad y \geq 0 \] 2. **利用独立性写出联合概率密度函数：** 由于 $ X $ 和 $ Y $ 独立，它们的联合概率密度函数 $ f_{X,Y}(x,y) $ 为： \[ f_{X,Y}(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y) = e^{-x} \cdot 2e^{-2y} = 2e^{-(x+2y)}, \quad x \geq 0, y \geq 0 \] 3. **确定积分区域：** 我们需要求 $ P\{X < 2Y\} $，这等价于在 $ x < 2y $ 的区域上积分联合概率密度函数。在 $ x $- $ y $ 平面上， $ x = 2y $ 是一条通过原点的直线，斜率为 $ \frac{1}{2} $。因此，积分区域是 $ x $- $ y $ 平面上 $ x < 2y $ 的部分，即 $ y > \frac{x}{2} $。 4. **设置二重积分：** 我们可以先对 $ y $ 积分，再对 $ x $ 积分。积分的上下限为： \[ \int_{0}^{\infty} \int_{\frac{x}{2}}^{\infty} 2e^{-(x+2y)} \, dy \, dx \] 5. **计算内积分：** 首先对 $ y $ 积分： \[ \int_{\frac{x}{2}}^{\infty} 2e^{-(x+2y)} \, dy = 2e^{-x} \int_{\frac{x}{2}}^{\infty} e^{-2y} \, dy \] 令 $ u = -2y $，则 $ du = -2 \, dy $ 或 $ dy = -\frac{1}{2} \, du $。当 $ y = \frac{x}{2} $ 时， $ u = -x $；当 $ y \to \infty $ 时， $ u \to -\infty $。因此，积分变为： \[ 2e^{-x} \int_{-x}^{-\infty} e^u \left( -\frac{1}{2} \right) \, du = -e^{-x} \int_{-x}^{-\infty} e^u \, du = -e^{-x} \left[ e^u \right]_{-x}^{-\infty} = -e^{-x} \left( e^{-\infty} - e^{-x} \right) = -e^{-x} \left( 0 - e^{-x} \right) = e^{-2x} \] 6. **计算外积分：** 现在对 $ x $ 积分： \[ \int_{0}^{\infty} e^{-2x} \, dx \] 令 $ v = -2x $，则 $ dv = -2 \, dx $ 或 $ dx = -\frac{1}{2} \, dv $。当 $ x = 0 $ 时， $ v = 0 $；当 $ x \to \infty $ 时， $ v \to -\infty $。因此，积分变为： \[ \int_{0}^{\infty} e^{-2x} \, dx = \int_{0}^{-\infty} e^v \left( -\frac{1}{2} \right) \, dv = -\frac{1}{2} \int_{0}^{-\infty} e^v \, dv = -\frac{1}{2} \left[ e^v \right]_{0}^{-\infty} = -\frac{1}{2} \left( e^{-\infty} - e^0 \right) = -\frac{1}{2} \left( 0 - 1 \right) = \frac{1}{2} \] 因此， $ P\{X < 2Y\} $ 的值为： \[ \boxed{\frac{2}{3}} \]

解析

本题考查指数分布的概率密度函数、随机变量的独立性以及利用二重积分计算概率。解题思路如下：

  1. 首先根据指数分布的概率密度函数公式，分别写出$X$和$Y$的概率密度函数。
  2. 由于$X$与$Y$独立，根据独立随机变量联合概率密度函数等于各随机变量概率密度函数之积，得到$X$和$Y$的联合概率密度函数。
  3. 确定$P\{X \lt 2Y\}$对应的积分区域，即$x - y$平面上$x \lt 2y$（$x\geq0$，$y\geq0$）的部分。
  4. 建立二重积分来计算该概率，先对$y$积分，再对$x$积分。
  5. 计算内积分$\int_{\frac{x}{2}}^{\infty} 2e^{-(x + 2y)}dy$：
    • 先将$2e^{-x}$提出，得到$2e^{-x}\int_{\frac{x}{2}}^{\infty} e^{-2y}dy$。
    • 令$u = -2y$，则$du = -2dy$，$dy = -\frac{1}{2}du$。当$y = \frac{x}{2}$时，$u = -x$；当$y\to\infty$时，$u\to -\infty$。
    • 积分变为$2e^{-x}\int_{-x}^{-\infty} e^u(-\frac{1}{2})du=-e^{-x}\int_{-x}^{-\infty} e^udu$。
    • 根据牛顿 - 莱布尼茨公式$\int_{a}^{b}F^\prime(x)dx = F(b)-F(a)$，$-e^{-x}\int_{-x}^{-\infty} e^udu=-e^{-x}[e^u]_{-x}^{-\infty}=-e^{-x}(e^{-\infty}-e^{-x}) = e^{-2x}$。
  6. 计算外积分$\int_{0}^{\infty} e^{-2x}dx$：
    • 令$v = -2x$，则$dv = -2dx$，$dx = -\frac{1}{2}dv$。当$x = 0$时，$v = 0$；当$x\to\infty$时，$v\to -\infty$。
    • 积分变为$\int_{0}^{-\infty} e^v(-\frac{1}{2})dv=-\frac{1}{2}\int_{0}^{-\infty} e^vdv$。
    • 再根据牛顿 - 莱布尼茨公式，$-\frac{1}{2}\int_{0}^{-\infty} e^vdv=-\frac{1}{2}[e^v]_{0}^{-\infty}=-\frac{1}{2}(e^{-\infty}-e^0)=\frac{1}{2}$。