题目
求函数f(x)=x^3-3x^2-9x+2的单调区间和极值．
求函数$f(x)=x^{3}-3x^{2}-9x+2$的单调区间和极值．
题目解答
答案
解：函数$f(x)=x^{3}-3x^{2}-9x+2$，可得：$f{{'}}(x)=3x^{2}-6x-9$
令$f{{'}}(x)=0$，解得$x_{1}=-1$，$x_{2}=3.$
列表讨论$f(x)$、$f{{'}}(x)$的变化情况：
| $x$ | $(-∞,-1)$ | $-1$ | $(-1,3)$ | $3$ | $(3,+∞)$ |
| $f{{'}}(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ |
| $f(x)$ | $↗$ | 极大值$7$ | $↘$ | 极小值$-25$ | $↗$ |
当$x=-1$时，$f(x)$的极大值是$f(-1)=7$；
当$x=3$时，$f(x)$的极小值是$f(3)=-25$．
解析
步骤 1：求导数
首先，我们需要求出函数$f(x)=x^{3}-3x^{2}-9x+2$的导数$f'(x)$。根据导数的定义，我们有：
$$f'(x) = 3x^{2} - 6x - 9$$
步骤 2：求导数的零点
接下来，我们需要找到导数$f'(x)$的零点，即解方程$f'(x) = 0$。这将帮助我们确定函数的单调区间和极值点。
$$3x^{2} - 6x - 9 = 0$$
解这个二次方程，我们得到：
$$x_{1} = -1, x_{2} = 3$$
步骤 3：分析导数的符号
现在，我们需要分析导数$f'(x)$在不同区间上的符号，以确定函数的单调性。根据导数的零点$x_{1} = -1$和$x_{2} = 3$，我们可以将实数轴分为三个区间：$(-∞, -1)$、$(-1, 3)$和$(3, +∞)$。在每个区间上，我们选择一个测试点来确定导数的符号。
- 在区间$(-∞, -1)$上，选择$x = -2$，则$f'(-2) = 3(-2)^{2} - 6(-2) - 9 = 12 + 12 - 9 = 15 > 0$，所以$f(x)$在$(-∞, -1)$上单调递增。
- 在区间$(-1, 3)$上，选择$x = 0$，则$f'(0) = 3(0)^{2} - 6(0) - 9 = -9 < 0$，所以$f(x)$在$(-1, 3)$上单调递减。
- 在区间$(3, +∞)$上，选择$x = 4$，则$f'(4) = 3(4)^{2} - 6(4) - 9 = 48 - 24 - 9 = 15 > 0$，所以$f(x)$在$(3, +∞)$上单调递增。
步骤 4：确定极值
根据导数的符号变化，我们可以确定函数的极值点。当导数从正变负时，函数达到极大值；当导数从负变正时，函数达到极小值。
- 当$x = -1$时，$f(x)$从单调递增变为单调递减，所以$f(x)$在$x = -1$处达到极大值$f(-1) = (-1)^{3} - 3(-1)^{2} - 9(-1) + 2 = -1 - 3 + 9 + 2 = 7$。
- 当$x = 3$时，$f(x)$从单调递减变为单调递增，所以$f(x)$在$x = 3$处达到极小值$f(3) = (3)^{3} - 3(3)^{2} - 9(3) + 2 = 27 - 27 - 27 + 2 = -25$。
首先，我们需要求出函数$f(x)=x^{3}-3x^{2}-9x+2$的导数$f'(x)$。根据导数的定义，我们有：
$$f'(x) = 3x^{2} - 6x - 9$$
步骤 2：求导数的零点
接下来，我们需要找到导数$f'(x)$的零点，即解方程$f'(x) = 0$。这将帮助我们确定函数的单调区间和极值点。
$$3x^{2} - 6x - 9 = 0$$
解这个二次方程，我们得到：
$$x_{1} = -1, x_{2} = 3$$
步骤 3：分析导数的符号
现在，我们需要分析导数$f'(x)$在不同区间上的符号，以确定函数的单调性。根据导数的零点$x_{1} = -1$和$x_{2} = 3$，我们可以将实数轴分为三个区间：$(-∞, -1)$、$(-1, 3)$和$(3, +∞)$。在每个区间上，我们选择一个测试点来确定导数的符号。
- 在区间$(-∞, -1)$上，选择$x = -2$，则$f'(-2) = 3(-2)^{2} - 6(-2) - 9 = 12 + 12 - 9 = 15 > 0$，所以$f(x)$在$(-∞, -1)$上单调递增。
- 在区间$(-1, 3)$上，选择$x = 0$，则$f'(0) = 3(0)^{2} - 6(0) - 9 = -9 < 0$，所以$f(x)$在$(-1, 3)$上单调递减。
- 在区间$(3, +∞)$上，选择$x = 4$，则$f'(4) = 3(4)^{2} - 6(4) - 9 = 48 - 24 - 9 = 15 > 0$，所以$f(x)$在$(3, +∞)$上单调递增。
步骤 4：确定极值
根据导数的符号变化，我们可以确定函数的极值点。当导数从正变负时，函数达到极大值；当导数从负变正时，函数达到极小值。
- 当$x = -1$时，$f(x)$从单调递增变为单调递减，所以$f(x)$在$x = -1$处达到极大值$f(-1) = (-1)^{3} - 3(-1)^{2} - 9(-1) + 2 = -1 - 3 + 9 + 2 = 7$。
- 当$x = 3$时，$f(x)$从单调递减变为单调递增，所以$f(x)$在$x = 3$处达到极小值$f(3) = (3)^{3} - 3(3)^{2} - 9(3) + 2 = 27 - 27 - 27 + 2 = -25$。