16、求极限 lim _(xarrow infty )((dfrac {x-1)(x+2))}^3x

本题考查重要极限$\lim_{x\rightarrow\infty}(1 + \frac{1}{x})^x = e$的应用以及极限的运算法则。解题的关键思路是通过对原式进行变形，凑出重要极限的形式，然后再利用极限的运算法则进行计算。

1. 首先对原式$\lim _{x\rightarrow \infty }{(\dfrac {x - 1}{x + 2})}^{3x}$进行变形：
   • 将$\frac{x - 1}{x + 2}$变形为$1+\frac{-3}{x + 2}$，则原式变为$\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {-3}{x + 2})}^{3x}$。
   • 为了凑出重要极限$\lim_{u\rightarrow\infty}(1 + \frac{1}{u})^u = e$的形式，设$u=\frac{x + 2}{-3}$，则$\frac{-3}{x + 2}=\frac{1}{u}$，且$x=-3u - 2$。
   • 那么$3x=3(-3u - 2)=-9u - 6$，所以$\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {-3}{x + 2})}^{3x}=\lim _{u\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {1}{u})}^{-9u - 6}$。
   • 根据指数运算法则$a^{m+n}=a^m\cdot a^n$，可将${(1+\dfrac {1}{u})}^{-9u - 6}$变形为${(1+\dfrac {1}{u})}^{-9u}\cdot{(1+\dfrac {1}{u})}^{-6}$。
   • 则$\lim _{u\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {1}{u})}^{-9u - 6}=\lim _{u\rightarrow \infty }[(1+\dfrac {1}{u})^{-9u}\cdot(1+\dfrac {1}{u})^{-6}]$。
   • 根据极限的乘法法则$\lim_{x\rightarrow a}[f(x)\cdot g(x)]=\lim_{x\rightarrow a}f(x)\cdot\lim_{x\rightarrow a}g(x)$，可得$\lim _{u\rightarrow \infty }[(1+\dfrac {1}{u})^{-9u}\cdot(1+\dfrac {1}{u})^{-6}]=\lim _{u\rightarrow \infty }(1+\dfrac {1}{u})^{-9u}\cdot\lim _{u\rightarrow \infty }(1+\dfrac {1}{u})^{-6}$。
   • 对于$\lim _{u\rightarrow \infty }(1+\dfrac {1}{u})^{-6}$，因为$\lim _{u\rightarrow \infty }(1+\dfrac {1}{u}) = 1$，所以$\lim _{u\rightarrow \infty }(1+\dfrac {1}{u})^{-6}=1^{-6}=1$。
   • 对于$\lim _{u\rightarrow \infty }(1+\dfrac {1}{u})^{-9u}$，根据指数运算法则$(a^m)^n=a^{mn}$，可变形为$\lim _{u\rightarrow \infty }[(1+\dfrac {1}{u})^{u}]^{-9}$。
   • 由重要极限$\lim_{u\rightarrow\infty}(1 + \frac{1}{u})^u = e$，可得$\lim _{u\rightarrow \infty }[(1+\dfrac {1}{u})^{u}]^{-9}=e^{-9}$。
   • 所以$\lim _{x\rightarrow \infty }{(\dfrac {x - 1}{x + 2})}^{3x}=e^{-9}\cdot1 = e^{-9}=\frac{1}{e^9}$。
2. 另一种变形方法：
   • 对$\lim _{x\rightarrow \infty }{(\dfrac {x - 1}{x + 2})}^{3x}$，将$\frac{x - 1}{x + 2}$变形为$1+\frac{-3}{x + 2}$后，进一步变形为$\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {-3}{x + 2})}^{\frac{x + 2}{-3}\cdot\frac{-3}{x + 2}\cdot3x}$。
   • 令$t=\frac{x + 2}{-3}$，当$x\rightarrow\infty$时，$t\rightarrow\infty$，则$\frac{-3}{x + 2}=\frac{1}{t}$，$\frac{-3}{x + 2}\cdot3x=\frac{-9x}{x + 2}$。
   • 所以$\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {-3}{x + 2})}^{\frac{x + 2}{-3}\cdot\frac{-3}{x + 2}\cdot3x}=\lim _{t\rightarrow \infty }(1+\frac{1}{t})^t\cdot\lim _{x\rightarrow \infty }(1+\frac{-3}{x + 2})^{\frac{-9x}{x + 2}-t\cdot t}$（这里原答案表述有误，正确的是$\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {-3}{x + 2})}^{\frac{x + 2}{-3}\cdot\frac{-3}{x + 2}\cdot3x}=\lim _{x\rightarrow \infty }[(1+\dfrac {-3}{x + 2})^{\frac{x + 2}{-3}}]^{\frac{-9x}{x + 2}}$）。
   • 因为$\lim _{x\rightarrow \infty }(1+\dfrac {-3}{x + 2})^{\frac{x + 2}{-3}} = e$，所以$\lim _{x\rightarrow \infty }{(1+\dfrac {-3}{x + 2})}^{\frac{x + 2}{-3}\cdot\frac{-3}{x + 2}\cdot3x}=\lim _{x\rightarrow \infty }e^{\frac{-9x}{x + 2}}$。
   • 根据指数函数的连续性$\lim_{x\rightarrow a}e^{f(x)}=e^{\lim_{x\rightarrow a}f(x)}$，则$\lim _{x\rightarrow \infty }e^{\frac{-9x}{x + 2}}=e^{\lim _{x\rightarrow \infty }\frac{-9x}{x + 2}}$。
   • 计算$\lim _{x\rightarrow \infty }\frac{-9x}{x + 2}$，分子分母同时除以$x$，得到$\lim _{x\rightarrow \infty }\frac{-9}{1+\frac{2}{x}}$。
   • 因为$\lim _{x\rightarrow \infty }\frac{2}{x}=0$，所以$\lim _{x\rightarrow \infty }\frac{-9}{1+\frac{2}{x}}=-9$。
   • 则$e^{\lim _{x\rightarrow \infty }\frac{-9x}{x + 2}}=e^{-9}=\frac{1}{e^9}$。