题目
一根长度为 L 的金属棒，在磁感应强度为 mathbf(B) 的匀强磁场中，绕其一端 mathbf(O) 以角速度 omega 在垂直于磁场的平面内匀速转动。则金属棒两端的动生电动势大小为：A Bomega LB (1)/(2)Bomega L^2C Bomega L^2D 0
一根长度为 $L$ 的金属棒，在磁感应强度为 $\mathbf{B}$ 的匀强磁场中，绕其一端 $\mathbf{O}$ 以角速度 $\omega$ 在垂直于磁场的平面内匀速转动。则金属棒两端的动生电动势大小为：
A $B\omega L$
B $\frac{1}{2}B\omega L^2$
C $B\omega L^2$
D 0
题目解答
答案
金属棒绕一端 $ O $ 转动时，各点速度 $ v = \omega r $。根据动生电动势公式：
\[
\mathcal{E} = \int_0^L B v \, dr = B \omega \int_0^L r \, dr = \frac{1}{2} B \omega L^2
\]
最终结果为：
\[
\mathcal{E} = \frac{1}{2} B \omega L^2
\]
答案：B. $ \frac{1}{2} B \omega L^2 $
解析
本题考查动生电动势的计算，解题思路是先明确金属棒上各点的运动速度，再根据动生电动势的计算公式进行积分求解。
- 确定金属棒上各点的速度：
- 金属棒绕一端 $O$ 以角速度 $\omega$ 匀速转动，在垂直于磁场的平面内，距离转动端 $O$ 为 $r$ 处的线速度大小为 $v = \omega r$。
- 计算动生电动势：
- 动生电动势的计算公式为 $\mathcal{E}=\int(\mathbf{v}\times\mathbf{B})\cdot d\mathbf{l}$，由于 $\mathbf{v}\perp\mathbf{B}$，$\mathbf{v}\times\mathbf{B}$ 的方向沿金属棒从 $O$ 指向另一端，且 $|\mathbf{v}\times\mathbf{B}| = vB=\omega rB$，$d\mathbf{l}$ 沿金属棒方向，所以 $\mathcal{E}=\int_0^L Bvdr$。
- 将 $v = \omega r$ 代入上式可得：$\mathcal{E}=B\omega\int_0^L rdr$。
- 根据积分公式 $\int x^n dx=\frac{1}{n + 1}x^{n+1}+C(n\neq - 1)$，对于 $\int_0^L rdr$，这里 $n = 1$，则 $\int_0^L rdr=\left[\frac{1}{2}r^2\right]_0^L=\frac{1}{2}L^2-0=\frac{1}{2}L^2$。
- 所以 $\mathcal{E}=B\omega\times\frac{1}{2}L^2=\frac{1}{2}B\omega L^2$。