本题考查零点存在定理的应用。解题的关键思路是构造一个合适的函数，然后利用函数的连续性以及零点存在定理来证明存在一点使得函数值为零，进而得到$f(c)=c$。

1. 构造函数：
   设$F(x)=f(x) - x$。因为$f(x)$在$[a,b]$上连续，$y = x$在$R$上连续，根据连续函数的四则运算性质，两个连续函数的差仍然是连续函数，所以$F(x)$在$[a,b]$上连续。
2. 计算$F(a)$和$F(b)$的值：
   • 计算$F(a)$：$F(a)=f(a)-a$，已知$a\lt f(x)\lt b$，当$x = a$时，$f(a)\gt a$，所以$F(a)=f(a)-a\gt0$。
   • 计算$F(b)$：$F(b)=f(b)-b$，当$x = b$时，$f(b)\lt b$，所以$F(b)=f(b)-b\lt0$。
3. 应用零点存在定理：
   零点存在定理为：如果函数$y = F(x)$在闭区间$[m,n]$上连续，且$F(m)\cdot F(n)\lt0$，那么在开区间$(m,n)$内至少存在一点$\xi$，使得$F(\xi)=0$。
   对于函数$F(x)$，它在$[a,b]$上连续，且$F(a)\gt0$，$F(b)\lt0$，即$F(a)\cdot F(b)\lt0$，所以由零点存在定理可知，在开区间$(a,b)$内至少存在一点$c$，使得$F(c)=0$。
4. 得出结论：
   因为$F(c)=f(c)-c = 0$，所以$f(c)=c$。