已知sin^2x,cos^2x是方程y^primeprime+p(x)y^prime+q(x)y=0的解，则该方程的通解是（）A. y=sin^2x+cos^2xB. y=sin^2x-cos^2xC. y=C_(1)sin^2x+C_(2)cos^2xD. y=C_(1)sin^2x+cos^2x

本题考查二阶线性齐次微分方程通解的结构。解题思路是先判断$\sin^{2}x$与$\cos^{2}x$是否线性无关，再根据二阶线性齐次微分方程通解的结构定理来确定方程的通解。

步骤一：判断$\sin^{2}x$与$\cos^{2}x$是否线性无关

设存在常数$k_1$，$k_2$，使得$k_1\sin^{2}x + k_2\cos^{2}x = 0$对于任意$x$都成立。
取$x = 0$，则$k_1\sin^{2}0 + k_2\cos^{2}0 = 0$，即$k_2 = 0$。
取$x = \frac{\pi}{2}$，则$k_1\sin^{2}\frac{\pi}{2} + k_2\cos^{2}\frac{\pi}{2} = 0$，即$k_1 = 0$。
所以只有当$k_1 = k_2 = 0$时，$k_1\sin^{2}x + k_2\cos^{2}x = 0$才恒成立，因此$\sin^{2}x$与$\cos^{2}x$线性无关。

步骤二：根据通解结构定理确定通解

对于二阶线性齐次微分方程$y^{\prime\prime}+p(x)y^{\prime}+q(x)y = 0$，如果$y_1(x)$和$y_2(x)$是该方程的两个线性无关的解，那么该方程的通解为$y = C_1y_1(x) + C_2y_2(x)$，其中$C_1$，$C_2$为任意常数。
已知$\sin^{2}x$，$\cos^{2}x$是方程$y^{\prime\prime}+p(x)y^{\prime}+q(x)y = 0$的解，且$\sin^{2}x$与$\cos^{2}x$线性无关，所以该方程的通解为$y = C_1\sin^{2}x + C_2\cos^{2}x$。