题目

14.计算不定积分int(1)/(xln^2)xdx.

14.计算不定积分$\int\frac{1}{x\ln^{2}x}dx$.

题目解答

答案

设 $u = \ln x$，则 $du = \frac{1}{x}dx$。代入原积分得： \[ \int \frac{1}{x \ln^2 x} \, dx = \int \frac{1}{u^2} \, du = -\frac{1}{u} + C \] 将 $u = \ln x$ 代回，得： \[ \boxed{-\frac{1}{\ln x} + C} \] （注：若考虑 $x < 0$，可写为 $\boxed{-\frac{1}{\ln |x|} + C}$，但通常题目中 $x > 0$。）

解析

本题考查不定积分的计算，解题思路是利用换元积分法来求解。换元积分法的核心思想是通过引入一个新的变量，将复杂的积分转化为较为简单的积分形式。

下面进行详细的解答：

  1. 设 $u = \ln x$，对 $u$ 求导，根据求导公式 $(\ln x)^\prime=\frac{1}{x}$，可得 $du = \frac{1}{x}dx$。
  2. 将 $u = \ln x$ 和 $du = \frac{1}{x}dx$ 代入原积分 $\int\frac{1}{x\ln^{2}x}dx$ 中，原积分就变为 $\int \frac{1}{u^2} du$。
  3. 对 $\int \frac{1}{u^2} du$ 进行计算，根据幂函数积分公式 $\int x^n dx=\frac{x^{n + 1}}{n + 1}+C$（$n\neq -1$），对于 $\int \frac{1}{u^2} du=\int u^{-2} du$，这里 $n=-2$，则有：
    • $\int u^{-2} du=\frac{u^{-2 + 1}}{-2 + 1}+C=\frac{u^{-1}}{-1}+C=-\frac{1}{u}+C$。
  4. 最后将 $u = \ln x$ 代回 $-\frac{1}{u}+C$ 中，得到原积分的结果为 $-\frac{1}{\ln x}+C$。
    • 注：若考虑 $x < 0$，因为 $\ln x$ 中 $x>0$，此时应该用 $\ln |x|$，则结果可写为 $-\frac{1}{\ln |x|}+C$，但通常题目中默认 $x > 0$。