题目
一、单选题（共30题，30.0分）2.（单选题，1.0分）函数f(x,y)=4(x-y)-x²-y²的极大值为（）
一、单选题（共30题，30.0分）
2.（单选题，1.0分）
函数f(x,y)=4(x-y)-x²-y²的极大值为（）
题目解答
答案
为了找到函数 $ f(x, y) = 4(x - y) - x^2 - y^2 $ 的极大值，我们需要遵循以下步骤：
1. **找到偏导数并设为零以找到临界点。**
函数 $ f(x, y) $ 关于 $ x $ 的偏导数为：
\[
f_x = 4 - 2x
\]
函数 $ f(x, y) $ 关于 $ y $ 的偏导数为：
\[
f_y = -4 - 2y
\]
将这些偏导数设为零，我们得到：
\[
4 - 2x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2
\]
\[
-4 - 2y = 0 \quad \Rightarrow \quad y = -2
\]
因此，临界点是 $ (2, -2) $。
2. **确定临界点的性质。**
为了确定临界点是极大值、极小值还是鞍点，我们需要使用二阶偏导数测试。二阶偏导数为：
\[
f_{xx} = -2, \quad f_{yy} = -2, \quad f_{xy} = 0
\]
二阶偏导数测试的判别式 $ D $ 由下式给出：
\[
D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2 = (-2)(-2) - 0^2 = 4
\]
由于 $ D > 0 $ 且 $ f_{xx} < 0 $，临界点 $ (2, -2) $ 是局部极大值。
3. **在临界点处评估函数。**
将 $ x = 2 $ 和 $ y = -2 $ 代入函数 $ f(x, y) $：
\[
f(2, -2) = 4(2 - (-2)) - 2^2 - (-2)^2 = 4(2 + 2) - 4 - 4 = 16 - 8 = 8
\]
因此，函数的极大值为 $ \boxed{8} $。
解析
考查要点：本题主要考查二元函数的极值求解方法，包括临界点的寻找和极值类型的判定。
解题核心思路：
- 求偏导数：分别对$x$和$y$求一阶偏导数，并联立方程求解临界点坐标。
- 二阶导数检验：通过计算二阶偏导数，构造判别式$D$，判断临界点的性质（极大值、极小值或鞍点）。
- 代入求值：若临界点为极大值点，则代入原函数计算极大值。
破题关键点：
- 正确求解偏导数，注意符号和运算顺序。
- 判别式$D$的计算：若$D > 0$且$f_{xx} < 0$，则为极大值点。
步骤1：求一阶偏导数并找临界点
- 对$x$求偏导：
$f_x = \frac{\partial}{\partial x} \left(4(x - y) - x^2 - y^2\right) = 4 - 2x$ - 对$y$求偏导：
$f_y = \frac{\partial}{\partial y} \left(4(x - y) - x^2 - y^2\right) = -4 - 2y$ - 联立方程：
$\begin{cases} 4 - 2x = 0 \Rightarrow x = 2 \\ -4 - 2y = 0 \Rightarrow y = -2 \end{cases}$
临界点为$(2, -2)$。
步骤2：二阶导数检验
- 计算二阶偏导数：
$f_{xx} = -2, \quad f_{yy} = -2, \quad f_{xy} = 0$ - 计算判别式$D$：
$D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2 = (-2)(-2) - 0^2 = 4$ - 判断性质：
- $D > 0$且$f_{xx} < 0$，说明$(2, -2)$是局部极大值点。
步骤3：计算极大值
将$(2, -2)$代入原函数：
$f(2, -2) = 4(2 - (-2)) - 2^2 - (-2)^2 = 4 \cdot 4 - 4 - 4 = 8$