题目
计算 I=iintlimits_(D)[x+(y^3ln(sqrt(x^2)+1+x))/(1+x^4)]dsigma，其中D是y=sin x x=pm(pi)/(2)，y=1围成的区域.
计算 $I=\iint\limits_{D}\left[x+\frac{y^{3}\ln(\sqrt{x^{2}+1}+x)}{1+x^{4}}\right]d\sigma$，其中D是$y=\sin x x=\pm\frac{\pi}{2}$，y=1围成的区域.
题目解答
答案
将积分区域 $ D $ 表示为：
\[ D = \left\{ (x, y) \mid -\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}, \sin x \leq y \leq 1 \right\}. \]
被积函数 $ f(x, y) = x + \frac{y^3 \ln(\sqrt{x^2 + 1} + x)}{1 + x^4} $ 可分解为奇函数部分 $ x $ 和 $ \frac{y^3 \ln(\sqrt{x^2 + 1} + x)}{1 + x^4} $，因 $ \ln(\sqrt{x^2 + 1} + x) $ 关于 $ x $ 奇对称。由于区域 $ D $ 关于 $ y $-轴对称，奇函数在对称区域上的积分为零。
因此，原积分值为：
\[ \boxed{0} \]
解析
本题考查二重积分的计算以及利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性来简化计算。解题思路如下：
- 首先确定积分区域 $D$ 的范围，根据题目所给条件，$D$ 是由 $y = \sin x$，$x=\pm\frac{\pi}{2}$，$y = 1$ 围成的区域，可表示为 $D=\left\{(x,y)\mid -\frac{\pi}{2}\leq x\leq\frac{\pi}{2},\sin x\leq y\leq 1\right\}$。
- 接着分析被积函数 $f(x,y)=x+\frac{y^{3}\ln(\sqrt{x^{2}+1}+x)}{1 + x^{4}}$ 的性质。
- 对于函数 $g(x)=\ln(\sqrt{x^{2}+1}+x)$，计算 $g(-x)$：
$\begin{align*}g(-x)&=\ln(\sqrt{(-x)^{2}+1}+(-x))\\&=\ln(\sqrt{x^{2}+1}-x)\\&=\ln\frac{(\sqrt{x^{2}+1}-x)(\sqrt{x^{2}+1}+x)}{\sqrt{x^{2}+1}+x}\\&=\ln\frac{(x^{2}+1)-x^{2}}{\sqrt{x^{2}+1}+x}\\&=\ln\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}+x}\\&=-\ln(\sqrt{x^{2}+1}+x)\\&=-g(x)\end{align*}$
所以 $g(x)=\ln(\sqrt{x^{2}+1}+x)$ 是关于 $x$ 的奇函数。 - 那么函数 $h(x,y)=\frac{y^{3}\ln(\sqrt{x^{2}+1}+x)}{1 + x^{4}}$ 中，因为 $y$ 的取值范围与 $x$ 无关，且 $g(x)$ 是奇函数，所以 $h(x,y)$ 关于 $x$ 是奇函数；同时函数 $k(x,y)=x$ 也是关于 $x$ 的奇函数。
- 对于函数 $g(x)=\ln(\sqrt{x^{2}+1}+x)$，计算 $g(-x)$：
- 然后根据二重积分的性质，若积分区域 $D$ 关于 $y$ 轴对称，被积函数 $f(x,y)$ 关于 $x$ 是奇函数，则 $\iint\limits_{D}f(x,y)d\sigma = 0$。本题中积分区域 $D$ 关于 $y$ 轴对称，被积函数 $f(x,y)=x+\frac{y^{3}\ln(\sqrt{x^{2}+1}+x)}{1 + x^{4}}$ 关于 $x$ 是奇函数，所以原积分 $I=\iint\limits_{D}\left[x+\frac{y^{3}\ln(\sqrt{x^{2}+1}+x)}{1 + x^{4}}\right]d\sigma = 0$。