题目
线性方程组 A_(3 times 4) x = 0 的解的情况为（ ）.A 无基础解系B 有非零解C 无解D 仅有零解
线性方程组 $A_{3 \times 4} x = 0$ 的解的情况为（ ）.
A 无基础解系
B 有非零解
C 无解
D 仅有零解
题目解答
答案
对于齐次线性方程组 $ A_{3 \times 4}x = 0 $，系数矩阵 $ A $ 的秩 $ r(A) $ 满足 $ 0 \leq r(A) \leq 3 $（因行数为 3），而未知数个数 $ n = 4 $。根据齐次方程组解的理论，当 $ r(A) < n $ 时，方程组有非零解。
本题中，$ r(A) \leq 3 < 4 $，故方程组一定有非零解。
选项分析：
- A：无基础解系（错误，有非零解则有基础解系）
- B：有非零解（正确）
- C：无解（错误，齐次方程组至少有零解）
- D：仅有零解（错误，$ r(A) < n $ 时有非零解）
答案： $\boxed{B}$
解析
本题考查齐次线性方程组解的判定定理。解题思路是先明确齐次线性方程组解的判定规则，再根据题目中系数矩阵的行数确定其秩的范围，最后结合未知数个数判断方程组解的情况。
- 齐次线性方程组解的判定规则：
对于齐次线性方程组 $Ax = 0$，其中 $A$ 为系数矩阵，$x$ 为未知数向量。设 $r(A)$ 表示矩阵 $A$ 的秩，$n$ 表示未知数的个数。- 当 $r(A)=n$ 时，方程组仅有零解；
- 当 $r(A)<n$ 时，方程组有非零解，且基础解系所含向量的个数为 $n - r(A)$。
- 确定系数矩阵 $A$ 的秩的范围：
已知系数矩阵 $A$ 是 $3\times4$ 矩阵，即矩阵 $A$ 有 $3$ 行 $4$ 列。根据矩阵秩的定义，矩阵的秩不超过其行数和列数中的最小值，所以 $r(A)$ 满足 $0\leq r(A)\leq3$。 - 判断方程组解的情况：
题目中未知数个数 $n = 4$，由于 $r(A)\leq3<4$，即 $r(A)<n$，根据齐次线性方程组解的判定规则可知，该方程组一定有非零解。 - 分析各选项：
- 选项A：因为方程组有非零解，所以一定有基础解系，该选项错误。
- 选项B：由前面的分析可知方程组有非零解，该选项正确。
- 选项C：齐次线性方程组 $Ax = 0$ 至少有零解 $x = 0$，所以不可能无解，该选项错误。
- 选项D：由于 $r(A)<n$，方程组有非零解，并非仅有零解，该选项错误。