35.判断题无限个无穷小的乘积仍是无穷小。A. 对B. 错

考查要点：本题主要考查对无穷小量乘积性质的理解，特别是无限个无穷小量相乘的结果是否仍保持为无穷小。

解题核心思路：

• 有限个无穷小量的乘积仍是无穷小，但无限个无穷小量的乘积需考虑收敛性。
• 若无限乘积的收敛值不为零，则原命题不成立。
• 通过构造反例（如无限乘积发散或趋于非零常数），可直接判断命题错误。

破题关键点：

• 明确无限乘积与有限乘积的本质区别，无限乘积需满足特定条件才能收敛。
• 选取合适的无穷小量序列，展示无限乘积可能趋于非零值或发散。

反例分析：
考虑无限个因子为 $1 + \frac{1}{n}$ 的乘积，其中 $n$ 趋近于无穷大。

1. 每个因子的性质：当 $n \to \infty$ 时，$\frac{1}{n} \to 0$，因此 $1 + \frac{1}{n} \to 1$，但每个因子可视为无穷小量的变形（与 $1$ 的偏差为无穷小）。
2. 乘积的展开：
   $\prod_{n=1}^{N} \left(1 + \frac{1}{n}\right) = \frac{2}{1} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \dots \cdot \frac{N+1}{N} = N + 1$
   当 $N \to \infty$ 时，乘积趋于无穷大。
3. 结论：无限乘积发散到无穷大，而非趋于零，说明无限个无穷小的乘积不一定是无穷小。

关键结论：

• 无限乘积的收敛性与有限乘积不同，需单独分析。
• 反例的存在直接证明原命题错误。