设alpha=(1,-1,0,-1), beta=(1,-1,1,-1), gamma=(1,-1,-1,-1). 求alpha的长度及beta与gamma的夹角为（）A. sqrt(3), (pi)/(3)B. 3, (pi)/(3)C. sqrt(3), (2pi)/(3)D. sqrt(3), -(pi)/(3)

本题考查向量的长度计算以及向量夹角的计算。解题思路为：先根据向量长度公式计算向量$\alpha$的长度，再根据向量夹角公式计算向量$\beta$与$\gamma$的夹角。

1. 计算向量$\alpha$的长度

对于向量$\vec{a}=(x,y,z,w)$，其长度$\vert\vec{a}\vert$的计算公式为$\vert\vec{a}\vert=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}}$。
已知$\alpha=(1,-1,0,-1)$，将其代入公式可得：
$\vert\alpha\vert=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+0^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{1 + 1 + 0 + 1}=\sqrt{3}$

2. 计算向量$\beta$与$\gamma$的夹角

设向量$\vec{b}$与$\vec{c}$的夹角为$\theta$，$0\leqslant\theta\leqslant\pi$，则向量夹角公式为$\cos\theta=\frac{\vec{b}\cdot\vec{c}}{\vert\vec{b}\vert\vert\vec{c}\vert}$。

• 计算$\beta\cdot\gamma$：
  对于向量$\beta=(1,-1,1,-1)$和$\gamma=(1,-1,-1,-1)$，根据向量点积的坐标运算公式$\vec{b}\cdot\vec{c}=x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2 + w_1w_2$（其中$\vec{b}=(x_1,y_1,z_1,w_1)$，$\vec{c}=(x_2,y_2,z_2,w_2)$）可得：
  $\beta\cdot\gamma=1\times1+(-1)\times(-1)+1\times(-1)+(-1)\times(-1)=1 + 1 - 1 + 1 = 2$
• 计算$\vert\beta\vert$和$\vert\gamma\vert$：
  根据向量长度公式，$\vert\beta\vert=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+1^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{1 + 1 + 1 + 1}=\sqrt{4}=2$；
  $\vert\gamma\vert=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+(-1)^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{1 + 1 + 1 + 1}=\sqrt{4}=2$。
• 计算夹角$\theta$：
  将$\beta\cdot\gamma = 2$，$\vert\beta\vert = 2$，$\vert\gamma\vert = 2$代入向量夹角公式可得：
  $\cos\theta=\frac{\beta\cdot\gamma}{\vert\beta\vert\vert\gamma\vert}=\frac{2}{2\times2}=\frac{1}{2}$
  因为$0\leqslant\theta\leqslant\pi$，且$\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$，所以$\theta = \frac{\pi}{3}$。