1、函数f(x)=(|x|sin(x-2))/(x(x-1)(x-2)^2)在下列哪个区间内有界A. (-1,0)B. (0,1)C. (1,2)D. (2,3)

考查要点：函数有界性的判断，重点分析分母为零的点及函数在区间端点处的极限行为。

解题核心思路：

1. 确定函数的不连续点：分母为零的点$x=0,1,2$将定义域划分为多个区间。
2. 逐个区间分析：检查每个选项区间内是否存在分母趋近于零而分子不为零的情况，导致函数无界。
3. 极限判断：特别关注区间端点处的极限是否有限，若无限则函数在该区间无界。

破题关键点：

• 分母的零点：$x=0,1,2$是函数的不连续点，需分析这些点附近函数的行为。
• 分子与分母的抵消：在某些区间内，分子和分母可能同时趋近于零，需通过极限判断是否导致无界。

选项A：$(-1,0)$

1. 化简函数：
   在区间$(-1,0)$内，$x<0$，故$|x|=-x$，函数变为：
   $f(x) = \frac{-x \sin(x-2)}{x(x-1)(x-2)^2} = \frac{-\sin(x-2)}{(x-1)(x-2)^2}.$
2. 端点极限分析：
   • 当$x \to -1^+$：分母$(x-1)(x-2)^2 \to (-2)(9) = -18$，分子$\sin(x-2) \to \sin(-3)$，极限为有限值。
   • 当$x \to 0^-$：分母$(x-1)(x-2)^2 \to (-1)(4) = -4$，分子$\sin(x-2) \to \sin(-2)$，极限为有限值。
3. 结论：函数在区间内连续且端点极限有限，故有界。

选项B：$(0,1)$

1. 化简函数：
   在区间$(0,1)$内，$x>0$，故$|x|=x$，函数为：
   $f(x) = \frac{x \sin(x-2)}{x(x-1)(x-2)^2} = \frac{\sin(x-2)}{(x-1)(x-2)^2}.$
2. 端点极限分析：
   • 当$x \to 1^-$：分母$(x-1) \to 0^-$，分子$\sin(x-2) \to \sin(-1) \neq 0$，极限趋向$-\infty$，无界。

选项C：$(1,2)$

1. 化简函数：
   在区间$(1,2)$内，$x>0$，故$|x|=x$，函数为：
   $f(x) = \frac{x \sin(x-2)}{x(x-1)(x-2)^2} = \frac{\sin(x-2)}{(x-1)(x-2)^2}.$
2. 端点极限分析：
   • 当$x \to 1^+$：分母$(x-1) \to 0^+$，分子$\sin(x-2) \to \sin(-1) \neq 0$，极限趋向$-\infty$，无界。
   • 当$x \to 2^-$：分母$(x-2)^2 \to 0^+$，分子$\sin(x-2) \approx (x-2)$，极限趋向$+\infty$，无界。

选项D：$(2,3)$

1. 化简函数：
   在区间$(2,3)$内，$x>0$，故$|x|=x$，函数为：
   $f(x) = \frac{x \sin(x-2)}{x(x-1)(x-2)^2} = \frac{\sin(x-2)}{(x-1)(x-2)^2}.$
2. 端点极限分析：
   • 当$x \to 2^+$：分母$(x-2)^2 \to 0^+$，分子$\sin(x-2) \approx (x-2)$，极限趋向$+\infty$，无界。