题目

已知实数a,b,c,m,n满足3m+n=(b)/(a)，mn=(c)/(a)．（1）求证：b2-12ac为非负数；（2）若a,b,c均为奇数，m,n是否可以都为整数？说明你的理由．

已知实数a,b,c,m,n满足$3m+n=\frac{b}{a}$，$mn=\frac{c}{a}$．
（1）求证：b2-12ac为非负数；
（2）若a,b,c均为奇数，m,n是否可以都为整数？说明你的理由．

题目解答

答案

解：（1）证明：∵$3m+n=\frac{b}{a}$，$mn=\frac{c}{a}$
∴b=a（3m+n），c=amn,
则b2-12ac=[a（3m+n）]2-12a2mn
=a2（9m2+6mn+n2）-12a2mn
=a2（9m2-6mn+n2）
=a2（3m-n）2，
∵a,m,n是实数，
∴a2（3m-n）2≥0，
∴b2-12ac 为非负数．
（2）m,n不可能都为整数．
理由如下：若m,n都为整数，其可能情况有：①m,n都为奇数；②m,n为整数，且其中至少有一个为偶数，
①当m,n都为奇数时，则3m+n必为偶数，
又∵$3m+n=\frac{b}{a}$，
∴b=a（3m+n），
∵a为奇数，
∴a（3m+n） 必为偶数，这与b为奇数矛盾；
②当m,n为整数，且其中至少有一个为偶数时，则mn必为偶数，
又∵$mn=\frac{c}{a}$，
∴c=amn,
∵a为奇数，
∴amn必为偶数，这与c为奇数矛盾；
综上所述，m,n不可能都为整数．

解析

步骤 1：证明b^{2}-12ac为非负数
根据已知条件，$3m+n=\frac{b}{a}$，$mn=\frac{c}{a}$，可以将b和c用m和n表示出来，即b=a(3m+n)，c=amn。然后，将b和c的表达式代入b^{2}-12ac中，化简得到b^{2}-12ac=a^{2}(3m-n)^{2}，由于a^{2}(3m-n)^{2}是非负数，所以b^{2}-12ac为非负数。
步骤 2：讨论m,n是否可以都为整数
当a,b,c均为奇数时，讨论m,n是否可以都为整数。首先，考虑m,n都为奇数的情况，此时3m+n为偶数，而b为奇数，这与b=a(3m+n)矛盾。其次，考虑m,n中至少有一个为偶数的情况，此时mn为偶数，而c为奇数，这与c=amn矛盾。因此，m,n不可能都为整数。