题目
(3)求极限lim_(xto0)((2^x+3^x)/(2))^(1)/(x).
(3)求极限$\lim_{x\to0}\left(\frac{2^{x}+3^{x}}{2}\right)^{\frac{1}{x}}$.
题目解答
答案
设 $y = \left( \frac{2^x + 3^x}{2} \right)^{\frac{1}{x}}$，取对数得 $$ \ln y = \frac{1}{x} \ln \left( \frac{2^x + 3^x}{2} \right). $$ 令 $f(x) = \ln \left( \frac{2^x + 3^x}{2} \right)$，则 $$ \lim_{x \to 0} \ln y = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x} = f'(0). $$ 计算导数 $$ f'(x) = \frac{2^x \ln 2 + 3^x \ln 3}{2^x + 3^x}, $$ 得 $$ f'(0) = \frac{\ln 2 + \ln 3}{2} = \frac{\ln 6}{2}. $$ 因此 $$ \lim_{x \to 0} \ln y = \frac{\ln 6}{2} \Rightarrow \lim_{x \to 0} y = e^{\frac{\ln 6}{2}} = \sqrt{6}. $$ 答案：$\boxed{\sqrt{6}}$
解析
考查要点：本题主要考查指数函数的极限求解，涉及对数转换法和导数定义的应用。
解题核心思路：
当遇到形如$1^{\infty}$型的不定式极限时，通常通过取自然对数将其转化为可处理的形式。进一步利用导数的定义将极限表达式转化为函数在某点的导数值，从而简化计算。
破题关键点：
- 对数转换：将原式取对数，转化为线性表达式。
- 导数定义：识别极限形式$\frac{f(x)-f(0)}{x}$，对应$f'(0)$。
- 导数计算：对复合函数求导，代入$x=0$求得具体值。
设$y = \left( \frac{2^x + 3^x}{2} \right)^{\frac{1}{x}}$，取对数得：
$\ln y = \frac{1}{x} \ln \left( \frac{2^x + 3^x}{2} \right).$
令$f(x) = \ln \left( \frac{2^x + 3^x}{2} \right)$，则原极限可表示为：
$\lim_{x \to 0} \ln y = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x} = f'(0).$
计算$f'(x)$：
根据链式法则，$f(x)$的导数为：
$f'(x) = \frac{1}{\frac{2^x + 3^x}{2}} \cdot \frac{2^x \ln 2 + 3^x \ln 3}{2} = \frac{2^x \ln 2 + 3^x \ln 3}{2^x + 3^x}.$
代入$x=0$：
$f'(0) = \frac{\ln 2 + \ln 3}{1 + 1} = \frac{\ln 6}{2}.$
因此：
$\lim_{x \to 0} \ln y = \frac{\ln 6}{2} \quad \Rightarrow \quad \lim_{x \to 0} y = e^{\frac{\ln 6}{2}} = \sqrt{6}.$